高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)集合
總結(jié)是事后對某一階段的學(xué)習(xí)、工作或其完成情況加以回顧和分析的一種書面材料,它有助于我們尋找工作和事物發(fā)展的規(guī)律,從而掌握并運用這些規(guī)律,不妨坐下來好好寫寫總結(jié)吧。如何把總結(jié)做到重點突出呢?以下是小編整理的高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié),希望對大家有所幫助。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)1
知識點總結(jié)
本節(jié)知識包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性和函數(shù)的圖象等知識點。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對稱性是學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象的基礎(chǔ),函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點,函數(shù)的圖象就迎刃而解了。
一、函數(shù)的單調(diào)性
1、函數(shù)單調(diào)性的定義
2、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明:
(1)定義法
(2)復(fù)合函數(shù)分析法
(3)導(dǎo)數(shù)證明法
(4)圖象法
二、函數(shù)的奇偶性和周期性
1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義
2、函數(shù)的奇偶性的判定和證明方法
3、函數(shù)的周期性的判定方法
三、函數(shù)的圖象
1、函數(shù)圖象的作法
(1)描點法
(2)圖象變換法
2、圖象變換包括圖象:平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。
常見考法
本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內(nèi)容,是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有,并且題目難度較大。在解答題中,它可以和高中數(shù)學(xué)的每一章聯(lián)合考查,多屬于拔高題。多考查函數(shù)的單調(diào)性、最值和圖象等。
誤區(qū)提醒
1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求函數(shù)的定義域,即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原則”。
2、單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來表示,不能用集合或不等式,單調(diào)區(qū)間一般寫成開區(qū)間,不必考慮端點問題。
3、在多個單調(diào)區(qū)間之間不能用“或”和“ ”連接,只能用逗號隔開。
4、判斷函數(shù)的奇偶性,首先必須考慮函數(shù)的定義域,如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱,則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)。
5、作函數(shù)的圖象,一般是首先化簡解析式,然后確定用描點法或圖象變換法作函數(shù)的圖象。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)2
1、高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié):集合一、集合有關(guān)概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性:
(1)元素的確定性如:世界上最高的山
(2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:
非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集N或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R
1)列舉法:{a,b,c……}
2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大
括號內(nèi)表示集合的方法。{x∈R|x-3>2},{x|x-3>2}
3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集含有有限個元素的集合
(2)無限集含有無限個元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
2、高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié):集合間的基本關(guān)系
1.“包含”關(guān)系—子集
注意:A?B有兩種可能(1)A是B的一部分;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?/B或B?/A
2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設(shè)A={x|x2
-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即:
、偃魏我粋集合是它本身的子集。A?A
、谡孀蛹:如果A?B,且A≠B那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)
、廴绻鸄?B,B?C,那么A?C
④如果A?B同時B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,一般我們把不含任何元素的集合叫做空集。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)3
集合的分類
(1)按元素屬性分類,如點集,數(shù)集。
(2)按元素的個數(shù)多少,分為有/無限集
關(guān)于集合的概念:
(1)確定性:作為一個集合的元素,必須是確定的,這就是說,不能確定的對象就不能構(gòu)成集合,也就是說,給定一個集合,任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。
(2)互異性:對于一個給定的集合,集合中的元素一定是不同的(或說是互異的),這就是說,集合中的任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素。
(3)無序性:判斷一些對象時候構(gòu)成集合,關(guān)鍵在于看這些對象是否有明確的標準。
集合可以根據(jù)它含有的元素的個數(shù)分為兩類:
含有有限個元素的集合叫做有限集,含有無限個元素的集合叫做無限集。
非負整數(shù)全體構(gòu)成的集合,叫做自然數(shù)集,記作N;
在自然數(shù)集內(nèi)排除0的集合叫做正整數(shù)集,記作N+或N;
整數(shù)全體構(gòu)成的集合,叫做整數(shù)集,記作Z;
有理數(shù)全體構(gòu)成的集合,叫做有理數(shù)集,記作Q;(有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱,一切有理數(shù)都可以化成分數(shù)的形式。)
實數(shù)全體構(gòu)成的集合,叫做實數(shù)集,記作R。(包括有理數(shù)和無理數(shù)。其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù),有理數(shù)就包括整數(shù)和分數(shù)。數(shù)學(xué)上,實數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的數(shù)。)
1.列舉法:如果一個集合是有限集,元素又不太多,常常把集合的所有元素都列舉出來,寫在花括號“{}”內(nèi)表示這個集合,例如,由兩個元素0,1構(gòu)成的集合可表示為{0,1}.
有些集合的元素較多,元素的排列又呈現(xiàn)一定的規(guī)律,在不致于發(fā)生誤解的情況下,也可以列出幾個元素作為代表,其他元素用省略號表示。
例如:不大于100的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合,可表示為{0,1,2,3,…,100}.
無限集有時也用上述的列舉法表示,例如,自然數(shù)集N可表示為{1,2,3,…,n,…}.
2.描述法:一種更有效地描述集合的方法,是用集合中元素的特征性質(zhì)來描述。
例如:正偶數(shù)構(gòu)成的集合,它的每一個元素都具有性質(zhì):“能被2整除,且大于0”
而這個集合外的其他元素都不具有這種性質(zhì),因此,我們可以用上述性質(zhì)把正偶數(shù)集合表示為
{x∈R│x能被2整除,且大于0}或{x∈R│x=2n,n∈N+},
大括號內(nèi)豎線左邊的X表示這個集合的任意一個元素,元素X從實數(shù)集合中取值,在豎線右邊寫出只有集合內(nèi)的元素x才具有的性質(zhì)。
一般地,如果在集合I中,屬于集合A的任意一個元素x都具有性質(zhì)p(x),而不屬于集合A的元素都不具有的性質(zhì)p(x),則性質(zhì)p(x)叫做集合A的一個特征性質(zhì)。于是,集合A可以用它的性質(zhì)p(x)描述為{x∈I│p(x)}
它表示集合A是由集合I中具有性質(zhì)p(x)的所有元素構(gòu)成的,這種表示集合的方法,叫做特征性質(zhì)描述法,簡稱描述法。
例如:集合A={x∈R│x2-1=0}的特征是X2-1=0
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)4
集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。這里的事物可以是人,物品,也可以是數(shù)學(xué)元素。
例如:
1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:緊急~。
2、數(shù)學(xué)名詞。一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素:有理數(shù)的~。
3、口號等等。集合在數(shù)學(xué)概念中有好多概念,如集合論:集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念,專門研究集合的理論叫做集合論?低(Cantor,G.F.P.,1845年1918年,德國數(shù)學(xué)家先驅(qū),是集合論的,目前集合論的基本思想已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。
集合,在數(shù)學(xué)上是一個基礎(chǔ)概念。什么叫基礎(chǔ)概念?基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念,可通過直觀、公理的方法來下定義。
集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象匯合在一起,使之成為一個整體(或稱為單體),這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。
集合與集合之間的關(guān)系
某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號,含有有限個元素叫有限集,含有無限個元素叫無限集,空集是不含任何元素的集,記做?占侨魏渭系淖蛹,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有傳遞性。
(說明一下:如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素,則A稱作是B的子集,寫作AB。若A是B的子集,且A不等于B,則A稱作是B的真子集,一般寫作AB。中學(xué)教材課本里將符號下加了一個符號,不要混淆,考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。)
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)5
1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱:
定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點字母,如五棱柱或用對角線的端點字母,如五棱柱。
幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點字母,如五棱錐
幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺:
定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等
表示:用各頂點字母,如五棱臺
幾何特征:
、偕舷碌酌媸窍嗨频钠叫卸噙呅
、趥(cè)面是梯形
、蹅(cè)棱交于原棱錐的頂點
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征:
①底面是全等的圓;
、谀妇與軸平行;
、圯S與底面圓的半徑垂直;
④側(cè)面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體。
幾何特征:
、俚酌媸且粋圓;
②母線交于圓錐的頂點;
、蹅(cè)面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺:
定義:用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特征:
、偕舷碌酌媸莾蓚圓;
、趥(cè)面母線交于原圓錐的頂點;
、蹅(cè)面展開圖是一個弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體
幾何特征:
、偾虻慕孛媸菆A;
②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)
注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長度;
俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法
斜二測畫法特點:
、僭瓉砼cx軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度為原來的一半。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)6
圓的方程定義:
圓的標準方程(x—a)2+(y—b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,即圓心坐標為(a,b),只要求出a、b、r,這時圓的方程就被確定,因此確定圓方程,須三個獨立條件,其中圓心坐標是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件。
直線和圓的位置關(guān)系:
1、直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關(guān)系。
、佴>0,直線和圓相交。
②Δ=0,直線和圓相切。
③Δ<0,直線和圓相離。
方法二是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較。
①dR,直線和圓相離。
2、直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程。求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況。
3、直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題。
切線的性質(zhì)
、艌A心到切線的距離等于圓的半徑;
、七^切點的半徑垂直于切線;
⑶經(jīng)過圓心,與切線垂直的直線必經(jīng)過切點;
⑷經(jīng)過切點,與切線垂直的直線必經(jīng)過圓心;
當一條直線滿足
。1)過圓心;
。2)過切點;
(3)垂直于切線三個性質(zhì)中的兩個時,第三個性質(zhì)也滿足。
切線的判定定理
經(jīng)過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線長定理
從圓外一點作圓的兩條切線,兩切線長相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)7
一、平面解析幾何的基本思想和主要問題
平面解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,其基本思想就是用代數(shù)的方法研究幾何問題。例如,用直線的方程可以研究直線的性質(zhì),用兩條直線的方程可以研究這兩條直線的位置關(guān)系等。
平面解析幾何研究的問題主要有兩類:一是根據(jù)已知條件,求出表示平面曲線的方程;二是通過方程,研究平面曲線的性質(zhì)。
二、直線坐標系和直角坐標系
直線坐標系,也就是數(shù)軸,它有三個要素:原點、度量單位和方向。如果讓一個實數(shù)與數(shù)軸上坐標為的點對應(yīng),那么就可以在實數(shù)集與數(shù)軸上的點集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系。
點與實數(shù)對應(yīng),則稱點的坐標為,記作,如點坐標為,則記作;點坐標為,則記為。
直角坐標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成,兩條數(shù)軸的度量單位一般相同,但有時也可以不同,兩個數(shù)軸的交點是直角坐標系的原點。在平面直角坐標系中,有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合與坐標平面內(nèi)的點集具有一一對應(yīng)關(guān)系。
一個點的坐標是這樣求得的,由點向軸及軸作垂線,在兩坐標軸上形成正投影,在軸上的正投影所對應(yīng)的值為點的橫坐標,在軸上的正投影所對應(yīng)的值為點的縱坐標。
在學(xué)習(xí)這兩種坐標系時,要注意用類比的方法。例如,平面直角坐標系是二維坐標系,它有兩個坐標軸,每個點的坐標需用兩個實數(shù)(即一對有序?qū)崝?shù))來表示,而直線坐標系是一維坐標系,它只有一個坐標軸,每個點的坐標只需用一個實數(shù)來表示。
三、向量的有關(guān)概念和公式
如果數(shù)軸上的任意一點沿著軸的正向或負向移動到另一個點,則說點在軸上作了一次位移。位移是一個既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,簡稱向量,記作。如果點移動的方向與數(shù)軸的正方向相同,則向量為正,否則為負。線段的長叫做向量的長度,記作。向量的長度連同表示其方向的正負號叫做向量的坐標(或數(shù)量),用表示。這里同學(xué)們要分清,,三個符號的含義。
對于數(shù)軸上任意三點,都有成立。該等式左邊表示在數(shù)軸上點向點作一次位移,等式右邊表示點先向點作一次位移,再由點向點作一次位移,它們的最終結(jié)果是相同的。
向量的坐標公式(或數(shù)量公式),它表示向量的數(shù)量等于終點的坐標減去起點的坐標,這個公式非常重要。
有相等坐標的兩個向量相等,看做同一個向量;反之,兩個相等向量坐標必相等。
注意:①相等的所有向量看做一個整體,作為同一向量,都等于以原點為起點,坐標與這所有向量相等的那個向量。②向量與數(shù)軸上的實數(shù)(或點)是一一對應(yīng)的,零向量即原點。
四、兩點的距離公式和中點公式
1。對于數(shù)軸上的兩點,設(shè)它們的坐標分別為,,則的距離為,的中點的坐標為。
由于表示數(shù)軸上兩點與的距離,所以在解一些簡單的含絕對值的方程或不等式時,常借助于數(shù)形結(jié)合思想,將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的距離問題加以解決。例如,解方程時,可以將問題看作在數(shù)軸上求一點,使它到,的距離之和等于。
2。對于直角坐標系中的兩點,設(shè)它們的坐標分別為,,則兩點的距離為,的中點的坐標滿足。
兩點的距離公式和中點公式是解析幾何中最基本、最常用的公式之一,要求同學(xué)們能熟練掌握并能靈活運用。
五、坐標法
坐標法是數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它是借助于坐標系來研究幾何圖形的一種方法,是數(shù)形結(jié)合的典范。這種方法是在平面上建立直角坐標系,用坐標表示點,把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡,用曲線上點的坐標所滿足的方程表示曲線,通過研究方程,間接地來研究曲線的性質(zhì)。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)8
集合的含義
集合的中元素的三個特性:
元素的確定性如:世界上的山
元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合
3。集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
集合的表示方法:列舉法與描述法。
注意:常用數(shù)集及其記法:
非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集NN+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R
列舉法:{a,b,c……}
描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{x(R|x—3>2},{x|x—3>2}
語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
Venn圖:
4、集合的分類:
有限集含有有限個元素的集合
無限集含有無限個元素的集合
空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)9
一:函數(shù)模型及其應(yīng)用
本節(jié)主要包括函數(shù)的模型、函數(shù)的應(yīng)用等知識點。主要是理解函數(shù)解應(yīng)用題的一般步驟靈活利用函數(shù)解答實際應(yīng)用題。
1、常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等。
2、用函數(shù)解應(yīng)用題的基本步驟是:
。1)閱讀并且理解題意。(關(guān)鍵是數(shù)據(jù)、字母的實際意義);
(2)設(shè)量建模;
。3)求解函數(shù)模型;
。4)簡要回答實際問題。
常見考法:
本節(jié)知識在段考和高考中考查的形式多樣,頻率較高,選擇題、填空題和解答題都有。多考查分段函數(shù)和較復(fù)雜的函數(shù)的最值等問題,屬于拔高題,難度較大。
誤區(qū)提醒:
1、求解應(yīng)用性問題時,不僅要考慮函數(shù)本身的定義域,還要結(jié)合實際問題理解自變量的取值范圍。
2、求解應(yīng)用性問題時,首先要弄清題意,分清條件和結(jié)論,抓住關(guān)鍵詞和量,理順數(shù)量關(guān)系,然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。
【典型例題】
例1:
。1)某種儲蓄的月利率是0。36%,今存入本金100元,求本金與利息的和(即本息和)y(元)與所存月數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式,并計算5個月后的本息和(不計復(fù)利)。
。2)按復(fù)利計算利息的一種儲蓄,本金為a元,每期利率為r,設(shè)本利和為y,存期為x,寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式。如果存入本金1000元,每期利率2。25%,試計算5期后的本利和是多少?解:(1)利息=本金×月利率×月數(shù)。y=100+100×0。36%·x=100+0。36x,當x=5時,y=101。8,∴5個月后的本息和為101。8元。
例2:
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資單位是萬元)
。1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式。
。2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能是企業(yè)獲得利潤,其利潤約為多少萬元。(精確到1萬元)。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)10
1、集合的概念
集合是集合論中的不定義的原始概念,教材中對集合的概念進行了描述性說明:“一般地,把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體,就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)”。理解這句話,應(yīng)該把握4個關(guān)鍵詞:對象、確定的、不同的、整體。
對象――即集合中的元素。集合是由它的元素確定的。
整體――集合不是研究某一單一對象的,它關(guān)注的是這些對象的全體。
確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關(guān)系。
不同的――集合元素的互異性。
2、有限集、無限集、空集的意義
有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來并不困難。
我們把不含有任何元素的集合叫做空集,記做Φ。理解它時不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關(guān)系。
幾個常用數(shù)集N、N、N+、Z、Q、R要記牢。
3、集合的表示方法
(1)列舉法的表示形式比較容易掌握,并不是所有的集合都能用列舉法表示,同學(xué)們需要知道能用列舉法表示的三種集合:
、僭夭惶嗟挠邢藜,如{0,1,8}
、谠剌^多但呈現(xiàn)一定的規(guī)律的有限集,如{1,2,3,…,100}
③呈現(xiàn)一定規(guī)律的無限集,如{1,2,3,…,n,…}
●注意a與{a}的區(qū)別
●注意用列舉法表示集合時,集合元素的“無序性”。
(2)特征性質(zhì)描述法的關(guān)鍵是把所研究的集合的“特征性質(zhì)”找準,然后適當?shù)乇硎境鰜砭托辛。但關(guān)鍵點也是難點。學(xué)習(xí)時多加練習(xí)就可以了。另外,弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2},{y|y=x2},{(x,y)|y=x2}是三個不同的集合。
4、集合之間的關(guān)系
●注意區(qū)分“從屬”關(guān)系與“包含”關(guān)系
“從屬”關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系。
“包含”關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系。掌握子集、真子集的概念,掌握集合相等的概念,學(xué)會正確使用“”等符號,會用Venn圖描述集合之間的關(guān)系是基本要求。
●注意辨清Φ與{Φ}兩種關(guān)系。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)11
一、集合及其表示
1、集合的含義:
“集合”這個詞首先讓我們想到的是上體育課或者開會時老師經(jīng)常喊的“全體集合”。數(shù)學(xué)上的“集合”和這個意思是一樣的,只不過一個是動詞一個是名詞而已。
所以集合的含義是:某些指定的.對象集在一起就成為一個集合,簡稱集,其中每一個對象叫元素。比如高一二班集合,那么所有高一二班的同學(xué)就構(gòu)成了一個集合,每一個同學(xué)就稱為這個集合的元素。
2、集合的表示
通常用大寫字母表示集合,用小寫字母表示元素,如集合A={a,b,c}。a、b、c就是集合A中的元素,記作a∈A,相反,d不屬于集合A,記作d?A。
有一些特殊的集合需要記憶:
非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)N正整數(shù)集N-或N+
整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R
集合的表示方法:列舉法與描述法。
①列舉法:{a,b,c……}
、诿枋龇ǎ簩⒓现械脑氐墓矊傩悦枋龀鰜怼H鐊x?R|x-3>2},{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1}
、壅Z言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
強調(diào):描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素
A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是數(shù)組元素(x,y),集合B中只有元素y。
3、集合的三個特性
(1)無序性
指集合中的元素排列沒有順序,如集合A={1,2},集合B={2,1},則集合A=B。
例題:集合A={1,2},B={a,b},若A=B,求a、b的值。
解:,A=B
注意:該題有兩組解。
(2)互異性
指集合中的元素不能重復(fù),A={2,2}只能表示為{2}
(3)確定性
集合的確定性是指組成集合的元素的性質(zhì)必須明確,不允許有模棱兩可、含混不清的情況。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)12
1.函數(shù)的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函數(shù),0在其定義域內(nèi),則f(0)=0(可用于求參數(shù));
(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性;
(5)奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;
2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法:若已知的定義域為[a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域,相當于x∈[a,b]時,求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。
(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;
3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對稱性)
(1)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對稱性,即證明C1上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上,反之亦然;
(3)曲線C1:f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線C2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數(shù)y=f(x)對x∈R時,f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱,高中數(shù)學(xué);
(6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x=對稱;
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)13
考點要求:
1、幾何體的展開圖、幾何體的三視圖仍是高考的熱點。
2、三視圖和其他的知識點結(jié)合在一起命題是新教材中考查學(xué)生三視圖及幾何量計算的趨勢。
3、重點掌握以三視圖為命題背景,研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型。
4、要熟悉一些典型的幾何體模型,如三棱柱、長(正)方體、三棱錐等幾何體的三視圖。
知識結(jié)構(gòu):
1、多面體的結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱有兩個面相互平行,其余各面都是平行四邊形,每相鄰兩個四邊形的公共邊平行。
正棱柱:側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱。反之,正棱柱的底面是正多邊形,側(cè)棱垂直于底面,側(cè)面是矩形。
。2)棱錐的底面是任意多邊形,側(cè)面是有一個公共頂點的三角形。
正棱錐:底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐。特別地,各棱均相等的正三棱錐叫正四面體。反過來,正棱錐的底面是正多邊形,且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。
。3)棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到,其上下底面是相似多邊形。
2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
。1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到。
。2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到。
。3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉(zhuǎn)半周得到,也可由平行于底面的平面截圓錐得到。
(4)球可以由半圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)一周或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)半周得到。
3、空間幾何體的三視圖
空間幾何體的三視圖是用平行投影得到,這種投影下,與投影面平行的平面圖形留下的影子,與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的,三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。
三視圖的長度特征:“長對正,寬相等,高平齊”,即正視圖和側(cè)視圖一樣高,正視圖和俯視圖一樣長,側(cè)視圖和俯視圖一樣寬。若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,要注意實、虛線的畫法。
4、空間幾何體的直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,基本步驟是:
。1)畫幾何體的底面
在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸,兩軸相交于點O′,且使∠x′O′y′=45°或135°,已知圖形中平行于x軸、y軸的線段,在直觀圖中平行于x′軸、y′軸。已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長度不變,平行于y軸的線段,長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿?/p>
。2)畫幾何體的高
在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面,在直觀圖中對應(yīng)的z′軸,也垂直于x′O′y′平面,已知圖形中平行于z軸的線段,在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)14
冪函數(shù)的性質(zhì):
對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時,設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù),那么我們就可以知道:
排除了為0與負數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);
排除了為0這種可能,即對于x<0x="">0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);
排除了為負數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負數(shù)。
總結(jié)起來,就可以得到當a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);
如果a為負數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。
在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到:
(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。
(2)當a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。
(3)當a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。
(6)顯然冪函數(shù)-。
解題方法:換元法
解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這種方法叫換元法.換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來.或者變?yōu)槭煜さ男问,把?fù)雜的計算和推證簡化。
它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。
練習(xí)題:
1、若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠1).
(1)求f(log2x)的最小值及對應(yīng)的x值;
(2)x取何值時,f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)?< p="">
2、已知函數(shù)f(x)=3x+k(k為常數(shù)),A(-2k,2)是函數(shù)y=f-1(x)圖象上的點.[來源:Z-k.Com]
(1)求實數(shù)k的值及函數(shù)f-1(x)的解析式;
(2)將y=f-1(x)的圖象按向量a=(3,0)平移,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若2f-1(x+-3)-g(x)≥1恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍.
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)15
一、函數(shù)的概念與表示
1、映射
(1)映射:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種映射法則f,對于集合A中的任一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),則這樣的對應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作f:A→B。
注意點:(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射,多對一是映射
2、函數(shù)
構(gòu)成函數(shù)概念的三要素
①定義域②對應(yīng)法則③值域
兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件:三要素有兩個相同
二、函數(shù)的解析式與定義域
1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù):
(1)分式的分母不為零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零,零取零次方?jīng)]有意義;
(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
三、函數(shù)的值域
1求函數(shù)值域的方法
、僦苯臃ǎ簭淖宰兞縳的范圍出發(fā),推出y=f(x)的取值范圍,適合于簡單的復(fù)合函數(shù);
、趽Q元法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,適合根式內(nèi)外皆為一次式;
、叟袆e式法:運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;
、芊蛛x常數(shù):適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);
⑤單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;
、迗D象法:二次函數(shù)必畫草圖求其值域;
、呃脤μ柡瘮(shù)
⑧幾何意義法:由數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)
四.函數(shù)的奇偶性
1.定義:設(shè)y=f(x),x∈A,如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為偶函數(shù)。
如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為奇
函數(shù)。
2.性質(zhì):
、賧=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,
、谌艉瘮(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,則f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1,D2,D1∩D2要關(guān)于原點對稱]
3.奇偶性的判斷
、倏炊x域是否關(guān)于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關(guān)系
五、函數(shù)的單調(diào)性
1、函數(shù)單調(diào)性的定義:
2設(shè)是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則在M上是增函數(shù)。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)16
集合的有關(guān)概念
1)集合(集):某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素
注意:①集合與集合的元素是兩個不同的概念,教科書中是通過描述給出的,這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
、诩现械脑鼐哂写_定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互異性(若a?A,b?A,則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
、奂暇哂袃煞矫娴囊饬x,即:凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法:常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類:有限集,無限集,空集。
4)常用數(shù)集:N,Z,Q,R,N
子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念
1)子集:若對x∈A都有x∈B,則AB(或AB);
2)真子集:AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或,且)
3)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}
5)補集:CUA={x|xA但x∈U}
注意:A,若A≠?,則?A;
若且,則A=B(等集)
集合與元素
掌握有關(guān)的術(shù)語和符號,特別要注意以下的符號:(1)與、?的區(qū)別;(2)與的區(qū)別;(3)與的區(qū)別。
子集的幾個等價關(guān)系
、貯∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
交、并集運算的性質(zhì)
、貯∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB,Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
有限子集的個數(shù):
設(shè)集合A的元素個數(shù)是n,則A有2n個子集,2n-1個非空子集,2n-2個非空真子集。
練習(xí)題:
已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z},則M,N,P滿足關(guān)系()
A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析一:從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一:對于集合M:{x|x=,m∈Z};對于集合N:{x|x=,n∈Z}
對于集合P:{x|x=,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù),而6m+1表示被6除余1的數(shù),所以MN=P,故選B。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)17
函數(shù)的概念
函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A---B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.
(1)其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;
(2)與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.
函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則
函數(shù)的表示方法:(1)解析法:明確函數(shù)的定義域
(2)圖想像:確定函數(shù)圖像是否連線,函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。
(3)列表法:選取的自變量要有代表性,可以反應(yīng)定義域的特征。
4、函數(shù)圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角坐標系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標,函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.
(2)畫法
A、描點法:B、圖象變換法:平移變換;伸縮變換;對稱變換,即平移。
(3)函數(shù)圖像平移變換的特點:
1)加左減右——————只對x
2)上減下加——————只對y
3)函數(shù)y=f(x)關(guān)于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x)
4)函數(shù)y=f(x)關(guān)于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x)
5)函數(shù)y=f(x)關(guān)于原點對稱得函數(shù)y=-f(-x)
6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去,x軸上面圖像不動得
函數(shù)y=|f(x)|
7)函數(shù)y=f(x)先作x≥0的圖像,然后作關(guān)于y軸對稱的圖像得函數(shù)f(|x|)
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)18
本節(jié)內(nèi)容主要是空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,在認識過程中,可以進一步提高同學(xué)們的空間想象能力,發(fā)展推理能力.通過對實際模型的認識,學(xué)會將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言,以具體的長方體中的點、線、面之間的關(guān)系作為載體,使同學(xué)們在直觀感知的基礎(chǔ)上,認識空間中點、線、面之間的位置關(guān)系,點、線、面的位置關(guān)系是立體幾何的主要研究對象,同時也是空間圖形最基本的幾何元素.
重難點知識歸納
1、平面
(1)平面概念的理解
直觀的理解:桌面、黑板面、平靜的水面等等都給人以平面的直觀的印象,但它們都不是平面,而僅僅是平面的一部分.
抽象的理解:平面是平的,平面是無限延展的,平面沒有厚。
(2)平面的表示法
、賵D形表示法:通常用平行四邊形來表示平面,有時根據(jù)實際需要,也用其他的平面圖形來表示平面.
②字母表示:常用等希臘字母表示平面.
(3)涉及本部分內(nèi)容的符號表示有:
、冱cA在直線l內(nèi),記作;
、邳cA不在直線l內(nèi),記作;
③點A在平面內(nèi),記作;
④點A不在平面內(nèi),記作;
、葜本l在平面內(nèi),記作;
、拗本l不在平面內(nèi),記作;
注意:符號的使用與集合中這四個符號的使用的區(qū)別與聯(lián)系.
(4)平面的基本性質(zhì)
公理1:如果一條直線的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi).
符號表示為:.
注意:如果直線上所有的點都在一個平面內(nèi),我們也說這條直線在這個平面內(nèi),或者稱平面經(jīng)過這條直線.
公理2:過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.
符號表示為:直線AB存在唯一的平面,使得.
注意:“有且只有”的含義是:“有”表示存在,“只有”表示唯一,不能用“只有”來代替.此公理又可表示為:不共線的三點確定一個平面.
公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號表示為:.
注意:兩個平面有一條公共直線,我們說這兩個平面相交,這條公共直線就叫作兩個平面的交線.若平面、平面相交于直線l,記作.
公理的推論:
推論1:經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.
推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.
推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.
2.空間直線
(1)空間兩條直線的位置關(guān)系
①相交直線:有且僅有一個公共點,可表示為;
、谄叫兄本:在同一個平面內(nèi),沒有公共點,可表示為a//b;
、郛惷嬷本:不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.
(2)平行直線
公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
符號表示為:設(shè)a、b、c是三條直線,.
定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個角相等.
(3)兩條異面直線所成的角
注意:
、賰蓷l異面直線a,b所成的角的范圍是(0°,90°].
、趦蓷l異面直線所成的角與點O的選擇位置無關(guān),這可由前面所講過的“等角定理”直接得出.
、塾蓛蓷l異面直線所成的角的定義可得出異面直線所成角的一般方法:
(i)在空間任取一點,這個點通常是線段的中點或端點.
(ii)分別作兩條異面直線的平行線,這個過程通常采用平移的方法來實現(xiàn).
(iii)指出哪一個角為兩條異面直線所成的角,這時我們要注意兩條異面直線所成的角的范圍.
3.空間直線與平面
直線與平面位置關(guān)系有且只有三種:
(1)直線在平面內(nèi):有無數(shù)個公共點;
(2)直線與平面相交:有且只有一個公共點;
(3)直線與平面平行:沒有公共點.
4.平面與平面
兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種:
(1)兩個平面平行:沒有公共點;
(2)兩個平面相交:有一條公共直線。
高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)19
直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面。
直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。直線和平面平行——沒有公共點
直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個平面沒有公共點,那么我們就說這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行。
直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行。
多面體
1、棱柱
棱柱的定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的性質(zhì)
(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形
(2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形
(3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對角面)是平行四邊形
2、棱錐
棱錐的定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐
棱錐的性質(zhì):
(1)側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形
(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方
3、正棱錐
正棱錐的定義:如果一個棱錐底面是正多邊形,并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。
正棱錐的性質(zhì):
(1)各側(cè)棱交于一點且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。
(3)多個特殊的直角三角形
a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
b、四面體中有三對異面直線,若有兩對互相垂直,則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。
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