淺談計算機和數(shù)學實用心得
淺談計算機和數(shù)學實用心得
計算機理論的一個核心問題——從數(shù)學談起：
記得當年大一入學，每周六課時高等數(shù)學，天天作業(yè)不斷(那時是六日工作制)。頗有些同學驚呼走錯了門:咱們這到底念的是什么系？不錯，你沒走錯門，這就是計算機科學與技術系。我國計算機科學系里的傳統(tǒng)是培養(yǎng)做學術研究，尤其是理論研究的人（方向不見得有問題，但是做得不是那么盡如人意）。而計算機的理論研究，說到底了，如網(wǎng)絡安全，圖形圖像學，視頻音頻處理，哪個方向都與數(shù)學有著很大的關系，雖然也許是正統(tǒng)數(shù)學家眼里非主流的數(shù)學。這里我還想闡明我的一個觀點：我們都知道，數(shù)學是從實際生活當中抽象出來的理論，人們之所以要將實際抽象成理論，目的就在于想用抽象出來的理論去更好的指導實踐，有些數(shù)學研究工作者喜歡用一些現(xiàn)存的理論知識去推導若干條推論，殊不知其一：問題考慮不全很可能是個錯誤的推論，其二：他的推論在現(xiàn)實生活中找不到原型，不能指導實踐。嚴格的說，我并不是一個理想主義者，政治課上學的理論聯(lián)系實際一直是指導我學習科學文化知識的航標（至少我認為搞計算機科學與技術的應當本著這個方向）。
其實我們計算機系學數(shù)學光學高等數(shù)學是不夠的（典型的工科院校一般都開的是高等數(shù)學），我們應該像數(shù)學系一樣學一下數(shù)學分析（清華計算機系開的好像就是數(shù)學分析），數(shù)學分析這門科學，咱們學計算機的人對它有很復雜的感情。在于它是偏向于證明型的數(shù)學課程，這對我們培養(yǎng)良好的分析能力極有幫助。我的軟件工程學導師北工大數(shù)理學院的王儀華先生就曾經(jīng)教導過我們，數(shù)學系的學生到軟件企業(yè)中大多作軟件設計與分析工作，而計算機系的學生做程序員的居多，原因就在于數(shù)學系的學生分析推理能力，從所受訓練的角度上要遠遠在我們之上。當年出現(xiàn)的怪現(xiàn)象是：計算機系學生的高中數(shù)學基礎在全校數(shù)一數(shù)二(希望沒有冒犯其它系的同學)，教學課時數(shù)也僅次于數(shù)學系，但學完之后的效果卻不盡如人意。難道都是學生不努力嗎，我看未見得，方向錯了也說不一定，其中原因何在，發(fā)人深思。
我個人的淺見是：計算機系的學生，對數(shù)學的要求固然跟數(shù)學系不同，跟物理類差別則更大。通常非數(shù)學專業(yè)的所謂“高等數(shù)學”，無非是把數(shù)學
分析中較困難的理論部分刪去，強調套用公式計算而已。而對計算機系來說，數(shù)學分析里用處最大的恰恰是被刪去的理論部分。說得難聽一點，對計算機系學生而言，追求算來算去的所謂“工程數(shù)學”已經(jīng)徹底地走進了誤區(qū)。記上一堆曲面積分的公式，難道就能算懂了數(shù)學？那倒不如現(xiàn)用現(xiàn)查，何必費事記呢？再不然直接用Mathematics或是Matalab好了。
我在系里最愛做的事情就是給學弟學妹們推薦參考書。中文的數(shù)學分析書，一般都認為以北大張筑生老師的“數(shù)學分析新講”為最好。萬一你的數(shù)學實在太好，那就去看菲赫金哥爾茨的“微積分學教程”好了--但我認為沒什么必要，畢竟你不想轉到數(shù)學系去。吉米多維奇的“數(shù)學分析習題集”也基本上是計算型的東東。書的名氣很大，倒不見得適合我們，還是那句話，重要的是數(shù)學思想的建立，生活在信息社會里我們求的是高效，計算這玩意還是留給計算機吧。不過現(xiàn)在多用的似乎是復旦大學的《數(shù)學分析》也是很好的教材。中國的所謂高等代數(shù)，就等于線性代數(shù)加上一點多項式理論。我以為這有好的一面，因為可以讓學生較早感覺到代數(shù)是一種結構，而非一堆矩陣翻來覆去。這里不得不提南京大學林成森，盛松柏兩位老師編的“高等代數(shù)”，感覺相當舒服。此書相當全面地包含了關于多項式和線性代數(shù)的基本初等結果，同時還提供了一些有用的又比較深刻的內容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，廣義逆矩陣等等。可以說，作為本科生如能吃透此書，就可以算高手。國內較好的高等代數(shù)教材還有清華計算機系用的那本，清華出版社出版，書店里多多，一看就知道。從抽象代數(shù)的觀點來看，高等代數(shù)里的結果不過是代數(shù)系統(tǒng)性質的一些例子而已。莫宗堅先生的《代數(shù)學》里，對此進行了深刻的討論。然而莫先生的書實在深得很，作為本科生恐怕難以接受，不妨等到自己以后成熟了一些再讀。
正如上面所論述的，計算機系的學生學習高等數(shù)學：知其然更要知其所以然。你學習的目的應該是：將抽象的理論再應用于實踐，不但要掌握題目的解題方法，更要掌握解題思想，對于定理的學習：不是簡單的應用，而是掌握證明過程即掌握定理的由來，訓練自己的推理能力。只有這樣才達到了學習這門科學的目的，同時也縮小了我們與數(shù)學系的同學之間思維上的`差距。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課很重要，可惜大多數(shù)院校講授這門課都會少些東西。少了的東西現(xiàn)在看至少有隨機過程。到畢業(yè)還沒有聽說過Markov過程，此乃計算機系學生的恥辱。沒有隨機過程，你怎么分析網(wǎng)絡和分布式系統(tǒng)？怎么設計隨機化算法和協(xié)議？據(jù)說清華計算機系開有“隨機數(shù)學”，早就是必修課。另外，離散概率論對計算機系學生來說有特殊的重要性。而我們國家工程數(shù)學講的都是連續(xù)概率。現(xiàn)在，美國已經(jīng)有些學校開設了單純的“離散概率論”課程，干脆把連續(xù)概率刪去，把離散概率講深些。我們不一定要這么做，但應該更加強調離散概率是沒有疑問的。這個工作我看還是盡早的做為好。
計算方法學（有些學校也稱為數(shù)學分析學）是最后一門由數(shù)理學院給我們開的課。一般學生對這門課的重視程度有限，以為沒什么用。不就是照套公式嘛！其實，做圖形圖像可離不開它，密碼學搞深了也離不開它。而且，在很多科學工程中的應用計算，都以數(shù)值的為主。這門課有兩個極端的講法：一個是古典的“數(shù)值分析”，完全講數(shù)學原理和算法；另一個是現(xiàn)在日趨流行的“科學與工程計算”，干脆教學生用軟件包編程。我個人認為，計算機系的學生一定要認識清楚我們計算機系的學生為什么要學這門課，我是很偏向于學好理論后用計算機實現(xiàn)的，最好使用C語言或C++編程實現(xiàn)。向這個方向努力的書籍還是挺多的，這里推薦大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出版社(Springer)聯(lián)合出版的《計算方（ComputationalMethods）》,華中理工大學數(shù)學系寫的（現(xiàn)華中科技大學），這方面華科大做的工作在國內應算是比較多的，而個人認為以這本最好，至少程序設計方面涉及了：任意數(shù)學函數(shù)的求值，方程求根，線性方程組求解，插值方法，數(shù)值積分，場微分方程數(shù)值求解。李慶揚的那本則理論性過強，與實際應用結合得不太緊。
每個學校本系里都會開一門離散數(shù)學，涉及集合論，圖論，和抽象代數(shù)，數(shù)理邏輯。不過，這么多內容擠在離散數(shù)學一門課里，是否時間太緊了點？另外，計算機系學生不懂組合和數(shù)論，也是巨大的缺陷。要做理論，不懂組合或者數(shù)論吃虧可就太大了。從理想的狀態(tài)來看，最好分開六門課：集合，邏輯,圖論，組合，代數(shù)，數(shù)論。這個當然不現(xiàn)實，因為沒那么多課時。也許將來可以開三門課：集合與邏輯，圖論與組合，代數(shù)與數(shù)論。
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