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數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案

時間:2024-11-13 19:03:14 海潔 數(shù)學教案 我要投稿
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數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案(通用12篇)

  作為一名辛苦耕耘的教育工作者,時常需要編寫教案,借助教案可以恰當?shù)剡x擇和運用教學方法,調(diào)動學生學習的積極性。那么應當如何寫教案呢?下面是小編為大家整理的數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案,供大家參考借鑒,希望可以幫助到有需要的朋友。

數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案(通用12篇)

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 1

  一、教學目標:

  1、知識與技能:

  (1) 結合實例,了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念.

  (2)能夠求出正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的解析式,進一步研究其性質.

  2、 過程與方法:

  (1)讓學生借助實例,了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù),體會從具體到一般,從個別到整體的研究過程和研究方法.

  (2)從圖像上觀察體會正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質,為這一章的學習作好鋪墊.

  3、情感.態(tài)度與價值觀:使學生通過學習正整數(shù)指數(shù)函數(shù)體會學習指數(shù)函數(shù)的重要意義,增強學習研究函數(shù)的積極性和自信心.

  二、教學重點:

  正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義.教學難點:正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的解析式的確定.

  三、學法指導

  學生觀察、思考、探究.教學方法:探究交流,講練結合。

  四、教學過程

  (一)新課導入

  [互動過程1]:

  (1)請你用列表表示1個細胞分裂次數(shù)分別

  為1,2,3,4,5,6,7,8時,得到的細胞個數(shù);

  (2)請你用圖像表示1個細胞分裂的次數(shù)n( )與得到的細

  胞個數(shù)y之間的關系;

  (3)請你寫出得到的細胞個數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關系式,試用

  科學計算器計算細胞分裂15次、20次得到的細胞個數(shù).

  解:

  (1)利用正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則,可以算出1個細胞分裂1,2,3,

  4,5,6,7,8次后,得到的細胞個數(shù)

  分裂次數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8

  細胞個數(shù) 2 4 8 16 32 64 128 256

  (2)1個細胞分裂的次數(shù) 與得到的細胞個數(shù) 之間的關系可以用圖像表示,它的圖像是由一些孤立的點組成

  (3)細胞個數(shù) 與分裂次數(shù) 之間的關系式為 ,用科學計算器算得 ,

  所以細胞分裂15次、20次得到的細胞個數(shù)分別為32768和1048576.

  探究:從本題中得到的函數(shù)來看,自變量和函數(shù)值分別是什么?此函數(shù)是什么類型的函數(shù)? 細胞個數(shù) 隨著分裂次數(shù) 發(fā)生怎樣變化?你從哪里看出?

  小結:從本題中可以看出我們得到的細胞分裂個數(shù)都是底數(shù)為2的指數(shù),而且指數(shù)是變量,取值為正整數(shù). 細胞個數(shù) 與分裂次數(shù) 之間的關系式為 .細胞個數(shù) 隨著分裂次數(shù) 的增多而逐漸增多.

  [互動過程2]:問題2.電冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層,臭氧含量Q近似滿足關系式Q=Q00.9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是時間(年),這里設Q0=1.

  (1)計算經(jīng)過20,40,60,80,100年,臭氧含量Q;

  (2)用圖像表示每隔20年臭氧含量Q的變化;

  (3)試分析隨著時間的增加,臭氧含量Q是增加還是減少.

  解:(1)使用科學計算器可算得,經(jīng)過20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分別為0.997520=0.9512, 0.997540=0.9047, 0.997560=0.8605, 0.997580=0.8185, 0.9975100=0.7786;

  (2)用圖像表示每隔20年臭氧含量Q的變化如圖所

  示,它的圖像是由一些孤立的點組成.

  (3)通過計算和觀察圖形可以知道, 隨著時間的增加,

  臭氧含量Q在逐漸減少.

  探究:從本題中得到的'函數(shù)來看,自變量和函數(shù)值分別

  又是什么?此函數(shù)是什么類型的函數(shù)?,臭氧含量Q隨著

  時間的增加發(fā)生怎樣變化?你從哪里看出?

  小結:從本題中可以看出我們得到的臭氧含量Q都是底數(shù)為0.9975的指數(shù),而且指數(shù)是變量,取值為正整數(shù). 臭氧含量Q近似滿足關系式Q=0.9975 t, 隨著時間的增加,臭氧含量Q在逐漸減少.

  [互動過程3]:上面兩個問題所得的函數(shù)有沒有共同點?你能統(tǒng)一嗎?自變量的取值范圍又是什么?這樣的函數(shù)圖像又是什么樣的?為什么?

  正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù) 叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù),其中 是自變量,定義域是正整數(shù)集 .

  說明: 1.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是一些孤立的點,這是因為函數(shù)的定義域是正整數(shù)集.2.在研究增長問題、復利問題、質量濃度問題中常見這類函數(shù).

  (二)、例題:某地現(xiàn)有森林面積為1000 ,每年增長5%,經(jīng)過 年,森林面積為 .寫出 , 間的函數(shù)關系式,并求出經(jīng)過5年,森林的面積.

  分析:要得到 , 間的函數(shù)關系式,可以先一年一年的增長變化,找出規(guī)律,再寫出 , 間的函數(shù)關系式.

  解: 根據(jù)題意,經(jīng)過一年, 森林面積為1000(1+5%) ;經(jīng)過兩年, 森林面積為1000(1+5%)2 ;經(jīng)過三年, 森林面積為1000(1+5%)3 ;所以 與 之間的函數(shù)關系式為 ,經(jīng)過5年,森林的面積為1000(1+5%)5=1276.28(hm2).

  練習:課本練習1,2

  補充例題:高一某學生家長去年年底到銀行存入2000元,銀行月利率為2.38%,那么如果他第n個月后從銀行全部取回,他應取回錢數(shù)為y,請寫出n與y之間的關系,一年后他全部取回,他能取回多少?

  解:一個月后他應取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%),二個月后他應取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)2;,三個月后他應取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)3, n個月后他應取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)n; 所以n與y之間的關系為y=20xx(1+2.38%)n (nN+),一年后他全部取回,他能取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)12.

  補充練習:某工廠年產(chǎn)值逐年按8%的速度遞增,今年的年產(chǎn)值為200萬元,那么第n年后該廠的年產(chǎn)值為多少?

  (三)、小結:1.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是一些孤立的點,這是因為函數(shù)的定義域是正整數(shù)集.2.在研究增長問題、復利問題、質量濃度問題中常見這類函數(shù).

  (四)、作業(yè):課本習題3-1 1,2,3

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 2

  教材分析:

  “指數(shù)函數(shù)”是在學生系統(tǒng)地學習了函數(shù)概念及性質,掌握了指數(shù)與指數(shù)冪的運算性質的基礎上展開研究的作為重要的基本初等函數(shù)之一,指數(shù)函數(shù)既是函數(shù)近代定義及性質的第一次應用,也為今后研究其他函數(shù)提供了方法和模式,為后續(xù)的學習奠定基礎.指數(shù)函數(shù)在知識體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用,因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材,所以指數(shù)函數(shù)應重點研究.

  學情分析:

  通過初中階段的學習和高中對函數(shù)、指數(shù)的運算等知識的系統(tǒng)學習,學生對函數(shù)已經(jīng)有了一定的認識,學生對用“描點法”描繪出函數(shù)圖象的方法已基本掌握,已初步了解數(shù)形結合的思想.另外,學生對由特殊到一般再到特殊的數(shù)學活動過程已有一定的體會.

  教學目標:

  知識與技能:理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,能正確作出其圖象,掌握指數(shù)函數(shù)的性質并能自覺、靈活地應用其性質(單調(diào)性、中介值)比較大小.

  過程與方法:

  (1) 體會從特殊到一般再到特殊的研究問題的方法,培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想、概括的能力,讓學生了解數(shù)學來源于生活又在生活中有廣泛的應用;理解并掌握探求函數(shù)性質的一般方法;

  (2) 從數(shù)和形兩方面理解指數(shù)函數(shù)的性質,體會數(shù)形結合、分類討論的數(shù)學思想方法,提高思維的靈活性,培養(yǎng)學生直觀、嚴謹?shù)乃季S品質.

  情感、態(tài)度與價值觀:

  (1)體驗從特殊到一般再到特殊的學習規(guī)律,認識事物之間的'普遍聯(lián)系與相互轉化,培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題,激發(fā)學生自主探究的精神,在探究過程中體驗合作學習的樂趣;

  (2)讓學生在數(shù)形結合中感悟數(shù)學的統(tǒng)一美、和諧美,進一步培養(yǎng)學生的學習興趣.

  教學重點

  指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

  教學難點

  指數(shù)函數(shù)概念的引入及指數(shù)函數(shù)性質的應用

  教法研究:

  本節(jié)課準備由實際問題引入指數(shù)函數(shù)的概念,這樣可以讓學生知道指數(shù)函數(shù)的概念來源于客觀實際,便于學生接受并有利于培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.

  利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質是函數(shù)中的一個非常重要的思想,本節(jié)課將是利用特殊的指數(shù)函數(shù)圖象歸納總結指數(shù)函數(shù)的性質,這樣便于學生研究其變化規(guī)律,理解其性質并掌握一般地探求函數(shù)性質的方法 同時運用現(xiàn)代信息技術學習、探索和解決問題,幫助學生理解新知識

  本節(jié)課使用的教學方法有:直觀教學法、啟發(fā)引導法、發(fā)現(xiàn)法

  教學過程:

  一、問題情境 :

  問題1:某種細胞分裂時,由一個分裂成2個,2個分裂成4個,4個分裂成8個,以此類推,一個這樣的細胞分裂x次后,得到的細胞個數(shù)y與x的函數(shù)關系式是什么?

  問題2:一種放射性物質不斷變化為其它物質,每經(jīng)過一年剩余質量約是原來的 ,設該物質的初始質量為1,經(jīng)過 年后的剩余質量為 ,你能寫出 之間的函數(shù)關系式嗎?

  分析可知,函數(shù)的關系式分別是 與

  問題3:在問題1和2中,兩個函數(shù)的自變量都是正整數(shù),但在實際問題中自變量不一定都是正整數(shù),比如在問題2中,我們除了關心1年、2年、3年后該物質的剩余量外,還想知道3個月、一年半后該物質的剩余量,怎么辦?

  這就需要對函數(shù)的定義域進行擴充,結合指數(shù)概念的的擴充,我們也可以將函數(shù)的定義域擴充至全體實數(shù),這樣就得到了一個新的函數(shù)——指數(shù)函數(shù).

  二、數(shù)學建構 :

  1]定義:

  一般地,函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù),其中 .

  問題4:為什么規(guī)定 ?

  問題5:你能舉出指數(shù)函數(shù)的例子嗎?

  閱讀材料(“放射性碳法”測定古物的年代):

  在動植物體內(nèi)均含有微量的放射性 ,動植物死亡后,停止了新陳代謝, 不在產(chǎn)生,且原有的 會自動衰變.經(jīng)過5740年( 的半衰期),它的殘余量為原來的一半.經(jīng)過科學測定,若 的原始含量為1,則經(jīng)過x年后的殘留量為 = .

  這種方法經(jīng)常用來推算古物的年代.

  練習1:判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù).

  (1) (2)

 。3) (4)

  說明:指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)= 中, 的系數(shù)是1.

  有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù),實際上卻不是,如y= +k (a>0且a 1,k Z);

  有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù),實際上卻是,如y= (a>0,且a 1),因為它可以化為y= ,其中 >0,且 1

  2]通過圖象探究指數(shù)函數(shù)的性質及其簡單應用:利用幾何畫板及其他多媒體軟件和學生一起完成

  問題6:我們研究函數(shù)的性質,通常都研究哪些性質?一般如何去研究?

  函數(shù)的定義域,值域,單調(diào)性,奇偶性等;

  利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質

  問題7:作函數(shù)圖象的一般步驟是什么?

  列表,描點,作圖

  探究活動1:用列表描點法作出 , 的圖像(借助幾何畫板演示),觀察、比較這兩個函數(shù)的圖像,我們可以得到這兩個函數(shù)哪些共同的性質?請同學們仔細觀察.

  引導學生分析圖象并總結此時指數(shù)函數(shù)的性質(底數(shù)大于1):

 。1)定義域?R

  (2)值域?函數(shù)的值域為

  (3)過哪個定點?恒過 點,即

 。4)單調(diào)性? 時, 為 上的增函數(shù)

  (5)何時函數(shù)值大于1?小于1? 當 時, ;當 時,

  問題8::是否所有的指數(shù)函數(shù)都是這樣的性質?你能找出與剛才的函數(shù)性質不一樣的指數(shù)函數(shù)嗎?

 。ㄒ龑W生自我分析和反思,培養(yǎng)學生的反思能力和解決問題的能力).

  根據(jù)學生的發(fā)現(xiàn),再總結當?shù)讛?shù)小于1時指數(shù)函數(shù)的相關性質并作比較.

  問題9:到現(xiàn)在,你能自制一份表格,比較 及 兩種不同情況下 的圖象和性質嗎?

 。▽W生完成表格的設計,教師適當引導)

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 3

  教學目標:

  進一步理解指數(shù)函數(shù)及其性質,能運用指數(shù)函數(shù)模型,解決實際問題。

  教學重點:

  用指數(shù)函數(shù)模型解決實際問題。

  教學難點:

  指數(shù)函數(shù)模型的建構。

  教學過程:

  一、情境創(chuàng)設

  某工廠今年的年產(chǎn)值為a萬元,為了增加產(chǎn)值,今年增加了新產(chǎn)品的研發(fā),預計從明年起,年產(chǎn)值每年遞增15%,則明年的產(chǎn)值為 萬元,后年的產(chǎn)值為 萬元.若設x年后實現(xiàn)產(chǎn)值翻兩番,則得方程 。

  二、數(shù)學建構

  指數(shù)函數(shù)是常見的數(shù)學模型,也是重要的數(shù)學模型,常見于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn),環(huán)境治理以及投資理財?shù)?/p>

  遞增的常見模型為=(1+p%)x(p>0);遞減的常見模型則為=(1-p%)x(p>0)。

  三、數(shù)學應用

  例1 某種放射性物質不斷變化為其他,每經(jīng)過一年,這種物質剩留的'質量是原來的84%,寫出這種物質的剩留量關于時間的函數(shù)關系式。

  例2 某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥,據(jù)檢測:如果成人按規(guī)定的劑量服用,服藥后每毫升血液中的含藥量為(微克),與服藥后的時間t(小時)之間近似滿足如圖曲線,其中OA是線段,曲線ABC是函數(shù)=at的圖象。試根據(jù)圖象,求出函數(shù)= f(t)的解析式。

  例3 某位公民按定期三年,年利率為2.70%的方式把5000元存入銀行.問三年后這位公民所得利息是多少元?

  例4 某種儲蓄按復利計算利息,若本金為a元,每期利率為r,設存期是x,本利和(本金加上利息)為元。

 。1)寫出本利和隨存期x變化的函數(shù)關系式;

 。2)如果存入本金1000元,每期利率為2.25%,試計算5期后的本利和。

 。◤屠前亚耙黄诘睦⒑捅窘鸺釉谝黄鹱鞅窘穑儆嬎阆乱黄诶⒌囊环N計算利息方法)

  小結:銀行存款往往采用單利計算方式,而分期付款、按揭則采用復利計算.這是因為在存款上,為了減少儲戶的重復操作給銀行帶來的工作壓力,同時也是為了提高儲戶的長期存款的積極性,往往定期現(xiàn)年的利息比再次存取定期一年的收益要高;而在分期付款的過程中,由于每次存入的現(xiàn)金存期不一樣,故需要采用復利計算方式.比如“本金為a元,每期還b元,每期利率為r”,第一期還款時本息和應為a(1+p%),還款后余額為a(1+p%)-b,第二次還款時本息為(a(1+p%)-b)(1+p%),再還款后余額為(a(1+p%)-b)(1+p%)-b=a(1+p%)2-b(1+p%)-b,……,第n次還款后余額為a(1+p%)n-b(1+p%)n1-b(1+p%)n2-……-b.這就是復利計算方式。

  例5 20xx~20xx年,我國國內(nèi)生產(chǎn)總值年平均增長7.8%左右.按照這個增長速度,畫出從20xx年開始我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值隨時間變化的圖象,并通過圖象觀察到20xx年我國年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為20xx年的多少倍(結果取整數(shù))。

  練習:

  1.(1)一電子元件去年生產(chǎn)某種規(guī)格的電子元件a個,計劃從今年開始的年內(nèi),每年生產(chǎn)此種規(guī)格電子元件的產(chǎn)量比上一年增長p%,試寫出此種規(guī)格電子元件的年產(chǎn)量隨年數(shù)變化的函數(shù)關系式;

  (2)一電子元件去年生產(chǎn)某種規(guī)格的電子元件的成本是a元/個,計劃從今年開始的年內(nèi),每年生產(chǎn)此種規(guī)格電子元件的產(chǎn)量比上一年下降p%,試寫出此種規(guī)格電子元件的單件成本隨年數(shù)變化的函數(shù)關系式。

  2.某種細菌在培養(yǎng)過程中,每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個),經(jīng)3小時后,這種細菌可由1個分裂成個 。

  3.我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值計劃從20xx年到20xx年翻兩番,設平均每年增長率為x,則得方程

  四、小結:

  1.指數(shù)函數(shù)模型的建立;

  2.單利與復利;

  3.用圖象近似求解。

  五、作業(yè):

  課本P71-10,16題。

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 4

  一、教學類型

  新知課

  二、教學目標

  1、理解指數(shù)函數(shù)的定義,初步掌握指數(shù)函數(shù)的定義域,值域及其奇偶性。

  2、通過對指數(shù)函數(shù)的研究,使學生能把握函數(shù)研究的基本方法,激發(fā)學生的學習興趣。

  三、教學重點和難點

  重點:理解指數(shù)函數(shù)的定義,把握圖象和性質。

  難點:認識底數(shù)對函數(shù)值影響的認識。

  四、教學用具

  投影儀

  五、教學方法

  啟發(fā)討論研究式

  六、教學過程

  1)引入新課

  我們前面學習了指數(shù)運算,在此基礎上,今天我們要來研究一類新的常見函數(shù)———————指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)(板書)

  這類函數(shù)之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要。比如我們看下面的問題:

  問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂次后,得到的細胞分裂的個數(shù)與之間,構成一個函數(shù)關系,能寫出與之間的`函數(shù)關系式嗎?

  問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,……剪了次后繩子剩余的長度為米,試寫出與之間的函數(shù)關系。

  1、定義:形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)。(板書)

  教師在給出定義之后再對定義作幾點說明。

  2、幾點說明(板書)

 。1)關于對的規(guī)定:

  (2)關于指數(shù)函數(shù)的定義域(板書)

 。3)關于是否是指數(shù)函數(shù)的判斷(板書)剛才分別認識了指數(shù)函數(shù)中底數(shù),指數(shù)的要求,下面我們從整體的角度來認識一下,根據(jù)定義我們知道什么樣的函數(shù)是指數(shù)函數(shù),請看下面函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)。學生回答并說明理由,教師根據(jù)情況作點評,指出只有(1)和(3)是指數(shù)函數(shù),其中(3)可以寫成,也是指數(shù)圖象。最后提醒學生指數(shù)函數(shù)的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然后把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數(shù)的性質,此時研究的關鍵在于畫出它的圖象,再細致歸納性質。

  3、歸納性質

  七、思考問題,設置懸念

  八、小結

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 5

  一、內(nèi)容及其解析

  (一)內(nèi)容:指數(shù)函數(shù)的性質的應用。

  (二)解析:通過進一步鞏固指數(shù)函數(shù)的圖象和性質,掌握由指數(shù)函數(shù)和其他簡單函數(shù)組成的復合函數(shù)的性質:定義域、值域、單調(diào)性,最值等性質。

  二、目標及其解析

  (一)教學目標

  指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質的應用;

  (二)解析

  通過進一步掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質,能夠構建指數(shù)函數(shù)的模型來解決實際問題;體會指數(shù)函數(shù)在實際生活中的重要作用,感受數(shù)學建模在解題中的作用,提高學生分析問題與解決問題的能力。

  三、問題診斷分析

  解決實際問題本來就是學生的一個難點,并且學生對函數(shù)模型也不熟悉,所以在構建函數(shù)模型解決實際問題是學生的一個難點,解決的方法就是在實例中讓學生加強理解,通過實例讓學生感受到如何選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型。

  四、教學過程設計

  探究點一:平移指數(shù)函數(shù)的圖像

  例1:畫出函數(shù) 的圖像,并根據(jù)圖像指出它的單調(diào)區(qū)間.

  解析:由函數(shù)的解析式可得:

  其圖像分成兩部分,一部分是將 (x-1)的.圖像作出,而它的圖像可以看作 的圖像沿x軸的負方向平移一個單位而得到的,另一部分是將 的圖像作出,而它的圖像可以看作將 的圖像沿x軸的負方向平移一個單位而得到的

  解:圖像由老師們自己畫出

  變式訓練一:已知函數(shù)

  (1)作出其圖像;

  (2)由圖像指出其單調(diào)區(qū)間;

  解:(1) 的圖像如下圖:

  (2)函數(shù)的增區(qū)間是(-,-2],減區(qū)間是[-2,+).

  探究點二:復合函數(shù)的性質

  例2:已知函數(shù)

  (1)求f(x)的定義域;

  (2)討論f(x)的奇偶性;

  解析:求定義域注意分母的范圍,判斷奇偶性需要注意定義域是否關于原點對稱。

  解:(1)要使函數(shù)有意義,須 -1 ,即x 1,所以,定義域為(- ,0) (0,+ ).

  (2)變式訓練二:已知函數(shù) ,試判斷函數(shù)的奇偶性;

  簡析:∵定義域為 ,且 是奇函數(shù);

  探究點三 應用問題

  例3某種放射性物質不斷變化為其他物質,每經(jīng)過一年,這種物質剩留的質量是原來的

  84%.寫出這種物質的剩留量關于時間的函數(shù)關系式.

  【解】

  設該物質的質量是1,經(jīng)過 年后剩留量是 .

  經(jīng)過1年,剩留量

  變式:儲蓄按復利計算利息,若本金為 元,每期利率為 ,設存期是 ,本利和(本金加上利息)為 元.

  (1)寫出本利和 隨存期 變化的函數(shù)關系式;

  (2)如果存入本金1000元,每期利率為2.25%,試計算5期后的本利和.

  分析:復利要把本利和作為本金來計算下一年的利息.

  【解】

  (1)已知本金為 元,利率為 則:

  1期后的本利和為

  2期后的本利和為

  期后的本利和為

  (2)將 代入上式得

  六.小結

  通過本節(jié)課的學習,本節(jié)課應用了指數(shù)函數(shù)的性質來解決了什么問題?如何構建指數(shù)函數(shù)模型,解決生活中的實際問題?

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 6

  教學目標

  在復習指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的特性之后,通過圖像對比使學生較快的學會不求值比較指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)值的大小及提高對復合型函數(shù)的定義域與值域的解題技巧。

  重點

  指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的特性。

  難點

  指導學生如何根據(jù)上述特性解決復合型函數(shù)的定義域與值域的問題。

  教學方法

  多媒體授課。

  學法指導

  借助列表與圖像法。

  教具

  多媒體教學設備。

  教學過程

  一、 復習提問。通過找學生分別敘述指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的公式及特性,加深學生的記憶。

  二、 展示指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的一覽表。并和學生們共同復習這些性質。

  指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關系一覽表

  函數(shù)

  性質

  指數(shù)函數(shù)

  y=ax (a>0且a≠1)

  對數(shù)函數(shù)

  y=logax(a>0且a≠1)

  定義域

  實數(shù)集R

  正實數(shù)集(0,﹢∞)

  值域

  正實數(shù)集(0,﹢∞)

  實數(shù)集R

  共同的點

 。0,1)

 。1,0)

  單調(diào)性

  a>1 增函數(shù)

  a>1 增函數(shù)

  0<a<1 減函數(shù)

  0<a<1 減函數(shù)

  函數(shù)特性

  a>1

  當x>0,y>1

  當x>1,y>0

  當x<0,0<y<1

  當0<x<1, y<0

  0<a<1

  當x>0, 0<y<1

  當x>1, y<0

  當x<0,y>1

  當0<x<1, y>0

  反函數(shù)

  y=logax(a>0且a≠1)

  y=ax (a>0且a≠1)

  圖像

  Y

  y=(1/2)x y=2x

  (0,1)

  X

  Y

  y=log2x

  (1,0)

  X

  y=log1/2x

  三、 同一坐標系中將指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)進行合成, 觀察其特點,并得出y=log2x與y=2x、 y=log1/2x與y=(1/2)x 的`圖像關于直線y=x對稱,互為反函數(shù)關系。所以y=logax與y=ax互為反函數(shù)關系,且y=logax的定義域與y=ax的值域相同,y=logax的值域與y=ax的定義域相同。

  Y

  y=(1/2)x y=2x y=x

 。0,1) y=log2x

  (1,0) X

  y=log1/2x

  注意:不能由圖像得到y(tǒng)=2x與y=(1/2)x為偶函數(shù)關系。因為偶函數(shù)是指同一個函數(shù)的圖像關于Y軸對稱。此圖雖有y=2x與y=(1/2)x圖像對稱,但它們是2個不同的函數(shù)。

  四、 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質去解決含有指數(shù)與對數(shù)的復合型函數(shù)的定義域、值域問題及比較函數(shù)的大小值。

  五、 例題

  例⒈比較(Л)(-0.1)與(Л)(-0.5)的大小。

  解:∵ y=ax中, a=Л>1

  ∴ 此函數(shù)為增函數(shù)

  又∵ ﹣0.1>﹣0.5

  ∴ (Л)(-0.1)>(Л)(-0.5)

  例⒉比較log67與log76的大小。

  解: ∵ log67>log66=1

  log76<log77=1

  ∴ log67>log76

  注意:當2個對數(shù)值不能直接進行比較時,可在這2個對數(shù)中間插入一個已知數(shù),間接比較這2個數(shù)的大小。

  例⒊ 求y=3√4-x2的定義域和值域。

  解:∵√4-x2 有意義,須使4-x2≥0

  即x2≤4, |x|≤2

  ∴-2≤x≤2,即定義域為[-2,2]

  又∵0≤x2≤4, ∴0≤4-x2≤4

  ∴0≤√4-x2 ≤2,且y=3x是增函數(shù)

  ∴30≤y≤32,即值域為[1,9]

  例⒋ 求函數(shù)y=√log0.25(log0.25x)的定義域。

  解:要函數(shù)有意義,須使log0.25(log0.25x)≥0

  又∵ 0<0.25<1,∴y=log0.25x是減函數(shù)

  ∴ 0<log0.25x≤1

  ∴ log0.251<log0.25x≤log0.250.25

  ∴ 0.25≤x<1,即定義域為[0.25,1)

  六、 課堂練習

  求下列函數(shù)的定義域

  1. y=8[1/(2x-1)]

  2. y=loga(1-x)2 (a>0,且a≠1)

  七、 評講練習

  八、 布置作業(yè)

  第113頁,第10、11題。并預習指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

  在物理、社會科學中的實際應用。

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 7

  教學目標:

  1.進一步理解指數(shù)函數(shù)的性質;

  2.能較熟練地運用指數(shù)函數(shù)的性質解決指數(shù)函數(shù)的平移問題;

  教學重點:

  指數(shù)函數(shù)的性質的應用;

  教學難點:

  指數(shù)函數(shù)圖象的平移變換.

  教學過程:

  一、情境創(chuàng)設

  1.復習指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質

  練習:函數(shù)y=ax(a0且a1)的定義域是_____,值域是______,函數(shù)圖象所過的定點坐標為 .若a1,則當x0時,y 1;而當x0時,y 1.若00時,y 1;而當x0時,y 1.

  2.情境問題:指數(shù)函數(shù)的性質除了比較大小,還有什么作用呢?我們知道對任意的a0且a1,函數(shù)y=ax的圖象恒過(0,1),那么對任意的a0且a1,函數(shù)y=a2x1的圖象恒過哪一個定點呢?

  二、數(shù)學應用與建構

  例1 解不等式:

  (1) ; (2) ;

  (3) ; (4) .

  小結:解關于指數(shù)的不等式與判斷幾個指數(shù)值的大小一樣,是指數(shù)性質的運用,關鍵是底數(shù)所在的范圍.

  例2 說明下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象的關系,并畫出它們的示意圖:

  (1) ; (2) ; (3) ; (4) .

  小結:指數(shù)函數(shù)的平移規(guī)律:y=f(x)左右平移 y=f(x+k)(當k0時,向左平移,反之向右平移),上下平移 y=f(x)+h(當h0時,向上平移,反之向下平移).

  練習:

  (1)將函數(shù)f (x)=3x的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,可以得到函數(shù) 的圖象.

  (2)將函數(shù)f (x)=3x的圖象向右平移2個單位,再向上平移3個單位,可以得到函數(shù) 的圖象.

  (3)將函數(shù) 圖象先向左平移2個單位,再向下平移1個單位所得函數(shù)的解析式是 .

  (4)對任意的.a0且a1,函數(shù)y=a2x1的圖象恒過的定點的坐標是 .函數(shù)y=a2x-1的圖象恒過的定點的坐標是 .

  小結:指數(shù)函數(shù)的定點往往是解決問題的突破口!定點與單調(diào)性相結合,就可以構造出函數(shù)的簡圖,從而許多問題就可以找到解決的突破口.

  (5)如何利用函數(shù)f(x)=2x的圖象,作出函數(shù)y=2x和y=2|x2|的圖象?

  (6)如何利用函數(shù)f(x)=2x的圖象,作出函數(shù)y=|2x-1|的圖象?

  小結:函數(shù)圖象的對稱變換規(guī)律.

  例3 已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x0時,f(x)=1-2x,試畫出此函數(shù)的圖象.

  例4 求函數(shù) 的最小值以及取得最小值時的x值.

  小結:復合函數(shù)常常需要換元來求解其最值.

  練習:

  (1)函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3,則a等于 ;

  (2)函數(shù)y=2x的值域為 ;

  (3)設a0且a1,如果y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值為14,求a的值;

  (4)當x0時,函數(shù)f(x)=(a2-1)x的值總大于1,求實數(shù)a的取值范圍.

  三、小結

  1.指數(shù)函數(shù)的性質及應用;

  2.指數(shù)型函數(shù)的定點問題;

  3.指數(shù)型函數(shù)的草圖及其變換規(guī)律.

  四、作業(yè):

  課本P55-6,7.

  五、課后探究

  (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,1),則函數(shù) 的定義域為 .

  (2)對于任意的x1,x2R ,若函數(shù)f(x)=2x ,試比較 的大小.

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 8

  一、教學目標:

  知識與技能:理解指數(shù)函數(shù)的概念,能夠判斷指數(shù)函數(shù)。

  過程與方法:通過觀察,分析、歸納、總結、自主建構指數(shù)函數(shù)的概念。領會從特殊到一般的數(shù)學思想方法,從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力。

  情感態(tài)度與價值觀:在指數(shù)函數(shù)的學習過程中,體驗數(shù)學的科學價值和應用價值,培養(yǎng)學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

  二、教學重點、難點:

  教學重點:指數(shù)函數(shù)的概念,判斷指數(shù)函數(shù)。教學難點:對底數(shù)的分類。

  三、學情分析:

  學生已經(jīng)學習了函數(shù)的知識,指數(shù)函數(shù)是函數(shù)知識中重要的一部分內(nèi)容,學生若能將其與學過的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)進行對比著去理解指數(shù)函數(shù)的概念、性質、圖象,則一定能從中發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的本質,所以對已經(jīng)熟悉掌握函數(shù)的學生來說,學習本課并不是太難。學生通過對高中數(shù)學中函數(shù)的學習,對解決一些數(shù)學問題有一定的能力。通過教師啟發(fā)式引導,學生自主探究完成本節(jié)課的學習。高一學生的認知水平從形象向抽象、從特殊向一般過渡,思維能力的提高是一個轉折期,但是,學生的自主意識強,有主動學習的愿望與能力。有好奇心、好勝心、進取心,富有激情、思維活躍。

  四、教學內(nèi)容分析

  本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(1)》(人教B版)第二章第一節(jié)第二課《指數(shù)函數(shù)及其性質》。根據(jù)我所任教的學生的實際情況,我將《指數(shù)函數(shù)及其性質》劃分為三節(jié)課(探究指數(shù)函數(shù)的概念,圖象及其性質,指數(shù)函數(shù)及其性質的應用),這是第一節(jié)課“探究指數(shù)函數(shù)的概念”。指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一,作為常見函數(shù),它不僅是今后學習對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎,同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的`應用,所以指數(shù)函數(shù)應重點研究。函數(shù)及其圖象在高中數(shù)學中占有很重要的位置。如何突破這個即重要又抽象的內(nèi)容,其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結合起來,通過具有一定思考價值的問題,激發(fā)學生的求知欲望――持久的好奇心。我們知道,函數(shù)的表示法有三種:列表法、圖象法、解析法,以往的函數(shù)的學習大多只關注到圖象的作用,這其實只是借助了圖象的直觀性,只是從一個角度看函數(shù),是片面的。本節(jié)課,主要是讓學生學會如何去發(fā)現(xiàn)研究心的函數(shù),為后面學習對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)做出鋪墊。

  五、教學過程:

  (一)創(chuàng)設情景

  問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂x次后,得到的細胞分裂的個數(shù)y與x之間,構成一個函數(shù)關系,能寫出x與y之間的函數(shù)關系式嗎?

  問題2:《莊子·天下篇》中寫道:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭!闭埬銓懗鼋厝次后,木棰剩余量y關于x的函數(shù)關系式?

 。ǘ⿲胄抡n

  引導學生觀察,兩個函數(shù)中,有什么共同特征?

 。ㄈ┬抡n講授指數(shù)函數(shù)的定義

  (四)鞏固與練習例題:

 。ㄎ澹┱n堂小結

  (六)布置作業(yè)

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 9

  一、教學目標:

  知識與技能:理解指數(shù)函數(shù)的概念,掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質,培養(yǎng)學生實際應用函數(shù)的能力。

  過程與方法:通過觀察圖象,分析、歸納、總結、自主建構指數(shù)函數(shù)的性質。領會數(shù)形結合的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力。

  情感態(tài)度與價值觀:在指數(shù)函數(shù)的學習過程中,體驗數(shù)學的科學價值和應用價值,培養(yǎng)學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

  二、教學重點、難點:

  教學重點:指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質。

  教學難點:對底數(shù)的分類,如何由圖象、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的'性質。

  三、教學過程:

  (一)創(chuàng)設情景

  問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂x次后,得到的細胞分裂的個數(shù)y與x之間,構成一個函數(shù)關系,能寫出x與y之間的函數(shù)關系式嗎?

  學生回答:y與x之間的關系式,可以表示為y=2x。

  問題2:一種放射性物質不斷衰變?yōu)槠渌镔|,每經(jīng)過一年剩留的質量約是原來的84%。求出這種物質的剩留量隨時間(單位:年)變化的函數(shù)關系。設最初的質量為1,時間變量用x表示,剩留量用y表示。

  學生回答:y與x之間的關系式,可以表示為y=0.84x。

  引導學生觀察,兩個函數(shù)中,底數(shù)是常數(shù),指數(shù)是自變量。

  指數(shù)函數(shù)的定義

  一般地,函數(shù)y?a?a?0且a?1?叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是R。x

  問題:指數(shù)函數(shù)定義中,為什么規(guī)定“a?0且a?1”如果不這樣規(guī)定會出現(xiàn)什么情況?

  (1)若a<0會有什么問題?(如a?2,x?

  x1則在實數(shù)范圍內(nèi)相應的函數(shù)值不存在)2(2)若a=0會有什么問題?(對于x?0,a無意義)

  (3)若a=1又會怎么樣?(1x無論x取何值,它總是1,對它沒有研究的必要。)

  師:為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定a?0且a?1。

  練1:指出下列函數(shù)那些是指數(shù)函數(shù):

  1?(1)y?4x(2)y?x4(3)y?4x(4)y?4?(5(轉載于:,n的大。

  設計意圖:這是指數(shù)函數(shù)性質的簡單應用,使學生在解題過程中加深對指數(shù)函數(shù)的圖像及性質的理解和記憶。

 。ㄎ澹┱n堂小結

 。┎贾米鳂I(yè)

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 10

  學習目標

  1. 熟練掌握指數(shù)函數(shù)概念、圖象、性質;

  2. 掌握指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域,會判斷其單調(diào)性;

  3. 培養(yǎng)數(shù)學應用意識.

  學習過程

  一、課前準備

 。A習教材P57~ P60,找出疑惑之處)

  復習1:指數(shù)函數(shù)的形式是 ,

  其圖象與性質如下

  aa1圖性質

  (1)定義域:

  (2)值域:

  (3)過定點:

  (4) 單調(diào)性:

  復習2:在同一坐標系中,作出函數(shù)圖象的草圖:

  思考:指數(shù)函數(shù)的圖象具有怎樣的分布規(guī)律?

  二、新課導學

  ※ 典型例題

  例1我國人口問題非常突出,在耕地面積只占世界7%的國土上,卻養(yǎng)育著22%的世界人口.因此,中國的人口問題是公認的社會問題.2000年第五次人口普查,中國人口已達到13億,年增長率約為1%.為了有效地控制人口過快增長,實行計劃生育成為我國一項基本國策.

  (1)按照上述材料中的1%的增長率,從2000年起,x年后我國的人口將達到2000年的多少倍?

  (2)從2000年起到2020年我國人口將達到多少?

  小結:學會讀題摘要;掌握從特殊到一般的歸納法.

  試試:2007年某鎮(zhèn)工業(yè)總產(chǎn)值為100億,計劃今后每年平均增長率為8%, 經(jīng)過x年后的總產(chǎn)值為原來的多少倍?多少年后產(chǎn)值能達到120億?

  小結:指數(shù)函數(shù)增長模型.

  設原有量N,每次的增長率為p,則經(jīng)過x次增長后的總量y= . 我們把形如 的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù).

  例2 求下列函數(shù)的定義域、值域:

  (1) ; (2) ; (3) .

  變式:單調(diào)性如何?

  小結:單調(diào)法、基本函數(shù)法、圖象法、觀察法.

  試試:求函數(shù) 的定義域和值域,并討論其單調(diào)性.

  ※ 動手試試

  練1. 求指數(shù)函數(shù) 的定義域和值域,并討論其單調(diào)性.

  練2. 已知下列不等式,比較 的大小.

  (1) ; (2) ;

 。3) ;(4) .

  練3. 一片樹林中現(xiàn)有木材30000 m3,如果每年增長5%,經(jīng)過x年樹林中有木材y m3,寫出x,y間的函數(shù)關系式,并利用圖象求約經(jīng)過多少年,木材可以增加到40000m3.

  三、總結提升

  ※ 學習小結

  1. 指數(shù)函數(shù)應用模型 ;

  2. 定義域與值域;

  2. 單調(diào)性應用(比大。.

  ※ 知識拓展

  形如 的函數(shù)值域的研究,先求得 的值域,再根據(jù) 的單調(diào)性,列出簡單的'指數(shù)不等式,得出所求值域,注意不能忽視 . 而形如 的函數(shù)值域的研究,易知 ,再結合函數(shù) 進行研究. 在求值域的過程中,配合一些常用求值域的方法,例如觀察法、單調(diào)性法、圖象法等.

  學習評價

  ※ 自我評價

  你完成本節(jié)導學案的情況為( ).

  A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差

  ※ 當堂檢測

 。〞r量:5分鐘 滿分:10分)計分:

  1. 如果函數(shù)y=ax (a1)的圖象與函數(shù)y=bx (b1)的圖象關于y軸對稱,則有( ).

  A. a B. ab

  C. ab=1 D. a與b無確定關系

  2. 函數(shù)f(x)=3-x-1的定義域、值域分別是( ).

  A. R, R? B. R,

  C. R, D.以上都不對

  3. 設a、b均為大于零且不等于1的常數(shù),則下列說法錯誤的是( ).

  A. y=ax的圖象與y=a-x的圖象關于y軸對稱?

  B. 函數(shù)f(x)=a1-x (a1)在R上遞減

  C. 若a a ,則a1?

  D. 若 1,則

  4. 比較下列各組數(shù)的大小:

 ; .

  5. 在同一坐標系下,函數(shù)y=ax, y=bx, y=cx, y=dx的圖象如右圖,則a、b、c、d、1之間從小到大的順序是 .

  課后作業(yè)

  1. 已知函數(shù)f(x)=a- (aR),求證:對任何 , f(x)為增函數(shù).

  2. 求函數(shù) 的定義域和值域,并討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 11

  教學目標

  1.使學生理解函數(shù)單調(diào)性的概念,并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.

  2.通過函數(shù)單調(diào)性概念的教學,培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力.通過例題培養(yǎng)學生利用定義進行推理的邏輯思維能力.

  3.通過本節(jié)課的教學,滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想,對學生進行辯證唯物主義的教育.

  教學重點與難點

  教學重點:函數(shù)單調(diào)性的概念.

  教學難點:函數(shù)單調(diào)性的判定.

  教學過程設計

  一、引入新課

  師:請同學們觀察下面兩組在相應區(qū)間上的函數(shù),然后指出這兩組函數(shù)之間在性質上的主要區(qū)別是什么?

 。ㄓ猛队盎脽艚o出兩組函數(shù)的圖象.)

  第一組:

  第二組:

  生:第一組函數(shù),函數(shù)值y隨x的增大而增大;第二組函數(shù),函數(shù)值y隨x的增大而減小.

  師:(手執(zhí)投影棒使之沿曲線移動)對.他(她)答得很好,這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別.當x變大時,第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大,而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變小.雖然在每一組函數(shù)中,函數(shù)值變大或變小的方式并不相同,但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質.我們在學習一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時,就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質.而這些研究結論是直觀地由圖象得到的在函數(shù)的集合中,有很多函數(shù)具有這種性質,因此我們有必要對函數(shù)這種性質作更進一步的一般性的討論和研究,這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容.

  (點明本節(jié)課的內(nèi)容,既是曾經(jīng)有所認識的,又是新的知識,引起學生的注意.)

  二、對概念的分析

 。ò鍟n題:)

  師:請同學們打開課本第51頁,請××同學把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍.

  (學生朗讀.)

  師:好,請坐.通過剛才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義,請同學們思考一個問題:這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致?如果一致,定義中是怎樣描述的?

  生:我認為是一致的定義中的“當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)”描述了y隨x的增大而增大;“當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”描述了y隨x的增大而減少.

  師:說得非常正確.定義中用了兩個簡單的不等關系“x1<x2”和“f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)”,它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質.這就是數(shù)學的魅力!

 。ㄍㄟ^教師的情緒感染學生,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.)

  師:現(xiàn)在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數(shù)y=f1(x)和y=f2(x)的圖象,體會這種魅力.

 。ㄖ笀D說明.)

  師:圖中y=f1(x)對于區(qū)間[a,b]上的任意x1,x2,當x1<x2時,都有f1(x1)<f1(x),因此y=f1(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞增的,區(qū)間[a,b]是函數(shù)y=f1(x)的單調(diào)增區(qū)間;而圖中y=f2(x)對于區(qū)間[a,b]上的任意x1,x2,當x1<x2時,都有f2(x1)>f2(x2),因此y=f2(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞減的,區(qū)間[a,b]是函數(shù)y=f2(x)的單調(diào)減區(qū)間.

  (教師指圖說明分析定義,使學生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結合起來,使新舊知識融為一體,加深對概念的理解.滲透數(shù)形結合分析問題的數(shù)學思想方法.)

  師:因此我們可以說,增函數(shù)就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應……

  (不把話說完,指一名學生接著說完,讓學生的思維始終跟著老師.)

  生:較大的函數(shù)值的函數(shù).

  師:那么減函數(shù)呢?

  生:減函數(shù)就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應較小的函數(shù)值的函數(shù).

 。▽W生可能回答得不完整,教師應指導他說完整.)

  師:好.我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的`分析,通過閱讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語,才能更透徹地認識定義?

 。▽W生思索.)

  學生在高中階段以至在以后的學習中經(jīng)常會遇到一些概念(或定義),能否抓住定義中的關鍵詞語,是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件,更是學好數(shù)學及其他各學科的重要一環(huán).因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念,以培養(yǎng)學生分析問題,認識問題的能力.

  (教師在學生思索過程中,再一次有感情地朗讀定義,并注意在關鍵詞語處適當加重語氣.在學生感到無從下手時,給以適當?shù)奶崾?)

  生:我認為在定義中,有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關鍵詞語.

  師:很好,我們在學習任何一個概念的時候,都要善于抓住定義中的關鍵詞語,在學習幾個相近的概念時還要注意區(qū)別它們之間的不同.增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應的區(qū)間而言的,離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性.請大家思考一個問題,我們能否說一個函數(shù)在x=5時是遞增或遞減的?為什么?

  生:不能.因為此時函數(shù)值是一個數(shù).

  師:對.函數(shù)在某一點,由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)(注意這四個字“唯一確定”),因而沒有增減的變化.那么,我們能不能脫離區(qū)間泛泛談論某一個函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢?你能否舉一個我們學過的例子?

  生:不能.比如二次函數(shù)y=x2,在y軸左側它是減函數(shù),在y軸右側它是增函數(shù).因而我們不能說y=x2是增函數(shù)或是減函數(shù).

 。ㄔ趯W生回答問題時,教師板演函數(shù)y=x2的圖像,從“形”上感知.)

  師:好.他(她)舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”.這說明是函數(shù)在某一個區(qū)間上的性質,但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù).因此,今后我們在談論函數(shù)的增減性時必須指明相應的區(qū)間.

  師:還有沒有其他的關鍵詞語?

  生:還有定義中的“屬于這個區(qū)間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語.

  師:你答的很對.能解釋一下為什么嗎?

 。▽W生不一定能答全,教師應給予必要的提示.)

  師:“屬于”是什么意思?

  生:就是說兩個自變量x1,x2必須取自給定的區(qū)間,不能從其他區(qū)間上取.

  師:如果是閉區(qū)間的話,能否取自區(qū)間端點?

  生:可以.

  師:那么“任意”和“都有”又如何理解?

  生:“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性,而“都有”則是說只要x1<x2,f(x1)就必須都小于f(x2),或f(x1)都大于f(x2).

  師:能不能構造一個反例來說明“任意”呢?

 。ㄗ寣W生思考片刻.)

  生:可以構造一個反例.考察函數(shù)y=x2,在區(qū)間[-2,2]上,如果取兩個特定的值x1=-2,x2=1,顯然x1<x2,而f(x1)=4,f(x2)=1,有f(x1)>f(x2),若由此判定y=x2是[-2,2]上的減函數(shù),那就錯了.

  師:那么如何來說明“都有”呢?

  生:y=x2在[-2,2]上,當x1=-2,x2=-1時,有f(x1)>f(x2);當x1=1,x2=2時,有f(x1)<f(x2),這時就不能說y=x2,在[-2,2]上是增函數(shù)或減函數(shù).

  師:好極了!通過分析定義和舉反例,我們知道要判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù),不能由特定的兩個點的情況來判斷,而必須嚴格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x1,x2,根據(jù)它們的函數(shù)值f(x1)和f(x2)的大小來判定函數(shù)的增減性.

 。ń處熗ㄟ^一系列的設問,使學生處于積極的思維狀態(tài),從抽象到具體,并通過反例的反襯,使學生加深對定義的理解.在概念教學中,反例常常幫助學生更深刻地理解概念,鍛煉學生的發(fā)散思維能力.)

  師:反過來,如果我們已知f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么,我們就可以通過自變量的大小去判定函數(shù)值的大小,也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大小.即一般成立則特殊成立,反之,特殊成立,一般不一定成立.這恰是辯證法中一般和特殊的關系.

 。ㄓ棉q證法的原理來解釋數(shù)學知識,同時用數(shù)學知識去理解辯證法的原理,這樣的分析,有助于深入地理解和掌握概念,分清概念的內(nèi)涵和外延,培養(yǎng)學生學習的能力.)

  三、概念的應用

  例1 圖4所示的是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出f(x)的單調(diào)區(qū)間,并回答:在每一個單調(diào)區(qū)間上,f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?

 。ㄓ猛队盎脽艚o出圖象.)

  生甲:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-5,-2],[1,3]上是減函數(shù),因此[-5,-2],[1,3]是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間;在區(qū)間[-2,1],[3,5]上是增函數(shù),因此[-2,1],[3,5]是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

  生乙:我有一個問題,[-5,-2]是函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間,那么,是否可認為(-5,-2)也是f(x)的單調(diào)減區(qū)間呢?

  師:問得好.這說明你想的很仔細,思考問題很嚴謹.容易證明:若f(x)在[a,b]上單調(diào)(增或減),則f(x)在(a,b)上單調(diào)(增或減).反之不然,你能舉出反例嗎?一般來說.若f(x)在[a,(增或減).反之不然.

  例2 證明函數(shù)f(x)=3x+2在(-∞,+∞)上是增函數(shù).

  師:從函數(shù)圖象上觀察固然形象,但在理論上不夠嚴格,尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象,因此必須學會根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認,這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.

 。ㄖ赋鲇枚x證明的必要性.)

  師:怎樣用定義證明呢?請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程.

 。ń處熝惨,并指定一名中等水平的學生在黑板上板演.學生可能會對如何比較f(x1)和f(x2)的大小關系感到無從入手,教師應給以啟發(fā).)

  師:對于f(x1)和f(x2)我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢?我們知道對兩個實數(shù)a,b,如果a>b,那么它們的差a-b就大于零;如果a=b,那么它們的差a—b就等于零;如果a<b,那么它們的差a-b就小于零,反之也成立.因此我們可由差的符號來決定兩個數(shù)的大小關系.

  生:(板演)設x1,x2是(-∞,+∞)上任意兩個自變量,當x1<x2時,

  f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3x1-3x2=3(x1-x2)<0,

  所以f(x)是增函數(shù).

  師:他的證明思路是清楚的一開始設x1,x2是(-∞,+∞)內(nèi)任意兩個自變量,并設x1<x2(邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線,并標注“①→設”),然后看f(x1)-f(x2),這一步是證明的關鍵,再對式子進行變形,一般方法是分解因式或配成完全平方的形式,這一步可概括為“作差,變形”(同上,劃線并標注”②→作差,變形”).但美中不足的是他沒能說明為什么f(x1)-f(x2)<0,沒有用到開始的假設“x1<x2”,不要以為其顯而易見,在這里一定要對變形后的式子說明其符號.應寫明“因為x1<x2,所以x1-x2<0,從而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).”這一步可概括為“定符號”(在黑板上板演,并注明“③→定符號”).最后,作為證明題一定要有結論,我們把它稱之為第四步“下結論”(在相應位置標注“④→下結論”).

  這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個步驟,請同學們記住.需要指出的是第二步,如果函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上恒大于零,也可以小.

 。▽W生的做法進行分析,把證明過程步驟化,可以形成思維的定勢.在學生剛剛接觸一個新的知識時,思維定勢對理解知識本身是有益的,同時對學生養(yǎng)成一定的思維習慣,形成一定的解題思路也是有幫助的)

  調(diào)函數(shù)嗎?并用定義證明你的結論.

  師:你的結論是什么呢?

  上都是減函數(shù),因此我覺得它在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù).

  生乙:我有不同的意見,我認為這個函數(shù)不是整個定義域內(nèi)的減函數(shù),因為它不符合減函數(shù)的定義.比如取x1∈(-∞,0),取x2∈(0,+∞),x1<x2顯然成立,而f(x1)<0,f(x2)>0,顯然有f(x1)<f(x2),而不是f(x1)>f(x2),因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù).

  生:也不能這樣認為,因為由圖象可知,它分別在(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù).

  域內(nèi)的增函數(shù),也不是定義域內(nèi)的減函數(shù),它在(-∞,0)和(0,+∞)每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù).因此在函數(shù)的幾個單調(diào)增(減)區(qū)間之間不要用符號“∪”連接.另外,x=0不是定義域中的元素,此時不要寫成閉區(qū)間.

  上是減函數(shù).

 。ń處熝惨.對學生證明中出現(xiàn)的問題給予點拔.可依據(jù)學生的問題,給出下面的提示:

  (1)分式問題化簡方法一般是通分.

 。2)要說明三個代數(shù)式的符號:k,x1·x2,x2-x1.

  要注意在不等式兩邊同乘以一個負數(shù)的時候,不等號方向要改變.

  對學生的解答進行簡單的分析小結,點出學生在證明過程中所出現(xiàn)的問題,引起全體學生的重視.)

  四、課堂小結

  師:請同學小結一下這節(jié)課的主要內(nèi)容,有哪些是應該特別注意的?

 。ㄕ堃粋思路清晰,善于表達的學生口述,教師可從中給予提示.)

  生:這節(jié)課我們學習了函數(shù)單調(diào)性的定義,要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語;在寫單調(diào)區(qū)間時不要輕易用并集的符號連接;最后在用定義證明時,應該注意證明的四個步驟.

  五、作業(yè)

  1.課本P53練習第1,2,3,4題.

  數(shù).

  =a(x1-x2)(x1+x2)+b(x1-x2)

  =(x1-x2)[a(x1+x2)+b].(*)

  +b>0.由此可知(*)式小于0,即f(x1)<f(x2).

  數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》教案 12

  一、教學內(nèi)容分析

  本節(jié)課是《課程標準實驗教科書·1》(北師大版)第三章第三節(jié)第三課(3.3.3)指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質。根據(jù)我所任教的學生的實際情況,將指數(shù)函數(shù)的圖像及其性質劃分為兩節(jié)課(探究圖像及其性質,指數(shù)函數(shù)及其性質的應用),這是第一節(jié)課“探究圖像及其性質”。指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一,作為常見函數(shù),它不僅是今后學習對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基礎,同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用,所以指數(shù)函數(shù)應重點研究。

  二、學生學習情況分析

  指數(shù)函數(shù)是在學生系統(tǒng)學習了函數(shù)概念,基本掌握了函數(shù)的性質的基礎上進行研究的,是學生對函數(shù)概念及性質的第一次應用。本節(jié)課先設計一個看似簡單的問題,通過超出想象的結果來激發(fā)學生學習新知的興趣和欲望。

  三、設計思想

  1.函數(shù)及其圖像在中占有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內(nèi)容,其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖像語言有機地結合起來,通過具有一定思考價值的問題,激發(fā)學生的求知欲望——持久的。我們知道,函數(shù)的表示法有三種:列表法、圖像法、解析法,以往函數(shù)的學習大多只關注到圖像的作用,這其實只是借助了圖像的直觀性,只是從一個角度看函數(shù),是片面的。本節(jié)課,力圖讓學生從不同的角度去研究函數(shù),對函數(shù)進行一個全方位的研究,并通過對比總結得到研究的方法,讓學生去體會這種研究方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去。

  2.結合《新課程實施中同伴合作和師生互動研究》的研究,在本課的教學中實踐以下兩點:

  (1)在課堂活動中通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學生積極主動、勇于探索的學習方式。

  (2)在教學過程中努力做到生生對話、師生對話,并且在對話之后重視體會、總結、反思,力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的同時讓學生掌握一些學習、研究數(shù)學的方法。

  3.通過活動向學生滲透數(shù)學思想方法。

  四、教學目標

  根據(jù)任教班級學生的實際情況,本節(jié)課確定的教學目標是:理解指數(shù)函數(shù)的概念,能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像;在理解指數(shù)函數(shù)概念、性質的基礎上,能應用所學知識解決簡單的數(shù)學問題;在教學過程中通過類比,回顧歸納從圖像和解析式這兩種不同角度研究函數(shù)性質的數(shù)學方法,加深對指數(shù)函數(shù)的認識,讓學生在數(shù)學活動中感受數(shù)學思想方法之美、體會數(shù)學思想方法之重要;同時通過本節(jié)課的學習,使學生獲得研究函數(shù)的規(guī)律和方法;培養(yǎng)學生主動學習、合作交流的意識。

  五、教學重點與難點

  1.教學重點

  指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質。

  2.教學難點

  對底數(shù)的分類,如何由圖像、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質。

  六、教學過程

 。ㄒ唬﹦(chuàng)設情景、提出問題(約3分鐘)

  師:如果讓1號同學準備2粒米,2號同學準備4粒米,3號同學準備6粒米,4號同學準備8粒米,5號同學準備10粒米,……按這樣的規(guī)律,51號同學該準備多少粒米?

  學生回答后公布事先估算的數(shù)據(jù):51號同學該準備102粒米,大約5克重。

  師:如果改成讓1號同學準備2粒米,2號同學準備4粒米,3號同學準備8粒米,4號同學準備16粒米,5號同學準備32粒米,……按這樣的規(guī)律,51號同學該準備多少米?

 。蹖W情設計]

  學生可能說很多或能算出具體數(shù)目

  師:大家能否估計一下,51號同學該準備的米有多重?

  教師公布事先估算的數(shù)據(jù):51號同學所需準備的約重1.2億噸。

  師:1.2億噸是一個什么概念?根據(jù)2007年9月13日美國農(nóng)業(yè)部發(fā)布的最新數(shù)據(jù)顯示,2007~2008年度我國大米產(chǎn)量預計為1.27億噸。這就是說51號同學所需準備的大米相當于2007~2008年度我國全年的大米產(chǎn)量!

  [設計意圖]

  用一個看似簡單的實例,為引出指數(shù)函數(shù)的概念做準備;同時通過與一次函數(shù)的對比讓學生感受指數(shù)函數(shù)的爆炸增長,激發(fā)學生學習新知的興趣和欲望。

  在以上兩個問題中,每位同學所需準備的米粒數(shù)用表示,每位同學的座號數(shù)用x表示,y與x之間的關系分別是什么?

  學生很容易得出y=2x(x∈N*)和y=2x(x∈N*

 。蹖W情設計]

  學情預設:學生可能會漏掉的取值范圍,教師要引導學生思考具體問題中的范圍。

  (二)師生互動、探究新知

  1.指數(shù)函數(shù)的定義

  師:其實,在本章開頭的問題2中,也有一個與y=22類似的關系式y(tǒng)=1.073x(x∈N*,x≤20)

  (1)讓學生思考討論以下問題(問題逐個給出):(約3分鐘)

 、賧=2x(x∈N*)和y=1.073x(x∈N*,x≤20)這兩個解析式有什么共同特征?

 、谒鼈兡芊駱嫵珊瘮(shù)?

 、凼俏覀儗W過的哪個函數(shù)?如果不是,你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個恰當?shù)拿郑?/p>

  [設計意圖]

  設計意圖:引導學生從具體問題、實際問題中抽象出數(shù)學模型。學生對比已經(jīng)學過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),發(fā)現(xiàn)y=2x,y=1.073x是一個新的函數(shù)模型,再讓學生給這個新的函數(shù)命名,由此激發(fā)學生的學習興趣。

  引導學生觀察,兩個函數(shù)中,底數(shù)是常數(shù),指數(shù)是。

  師:如果可以用字母a代替其中的底數(shù),那么上述兩式就可以表示成y=ax的形式。自變量在指數(shù)位置,所以我們把它稱作指數(shù)函數(shù)。

 。2)讓學生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義。(約6分鐘)

  對于底數(shù)的分類,可將問題分解為:

  ①若a<0會有什么問題?(如a=-2,x則在實數(shù)范圍內(nèi)相應的函數(shù)值不存在)

 、谌鬭=0會有什么問題?(對于x≤0,ax都無意義)

  ③若a=1又會怎么樣?(1x無論x取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.)

  師:為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定a>0且a≠1.

  在這里要注意生生之間、師生之間的對話。

 。蹖W情設計]

  ①若學生從教科書中已經(jīng)看到指數(shù)函數(shù)的定義,教師可以問,為什么要求a>0,且a≠1;a=1為什么不行?

 、谌魧W生只給出y=ax,教師可以引導學生通過類比一次函數(shù)(y=kx+b,k≠0)、反比例函數(shù)(,k≠0)、二次函數(shù)(y=ax2+bx+c,a≠0)中的限制條件,思考指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的限制條件。

  [設計意圖]

 、賹χ笖(shù)函數(shù)中底數(shù)限制條件的討論可以引導學生研究一個函數(shù)應注意它的實際意義和研究價值;

 、谟懻摮鯽>0,且a≠1,也為下面研究性質時對底數(shù)的分類做準備。

  接下來教師可以問學生是否明確了指數(shù)函數(shù)的定義,能否寫出一兩個指數(shù)函數(shù)?教師也在黑板上寫出一些解析式讓學生判斷,如,y=2×3x,y=32x,y=-2x

 。蹖W情設計]

  學生可能只是關注指數(shù)是否是變量,而不考慮其他的。

 。墼O計意圖]

  設計意圖:加深學生對指數(shù)函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解。

  2.指數(shù)函數(shù)性質

 。1)提出兩個問題(約3分鐘)

  ①目前研究函數(shù)一般可以包括哪些方面。

 。墼O計意圖]

  讓學生在研究指數(shù)函數(shù)時有明確的目標:函數(shù)三個要素(對應法則、定義域、值域)和函數(shù)的基本性質(單調(diào)性、奇偶性)。

 、谘芯亢瘮(shù)(比如今天的指數(shù)函數(shù))可以怎么研究?用什么方法、從什么角度研究?

  可以從圖像和解析式這兩個不同的角度進行研究;可以從具體的'函數(shù)入手(即底數(shù)取一些數(shù)值);當然也可以用列表法研究函數(shù),只是今天我們所學的函數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質,可見具體問題要選擇適當?shù)姆椒▉硌芯坎拍苁掳牍Ρ!還可以借助一些數(shù)學思想方法來思考。

  [設計意圖]

 、僮寣W生知道圖像法不是研究函數(shù)的唯一方法,由此引導學生可以從圖像和解析式(包括列表)不同的角度對函數(shù)進行研究;

 、趯W生進行數(shù)學思想方法(從一般到特殊再到一般、數(shù)形結合、分類討論)的有機滲透。

  (2)分組活動,合作學習(約8分鐘)

  師:好,下面我們就從圖像和解析式這兩個不同的角度對指數(shù)函數(shù)進行研究。

 、僮寣W生分為兩大組,一組從解析式的角度入手(不畫圖)研究指數(shù)函數(shù),一組借助電腦通過幾何畫板的操作從圖像的角度入手研究指數(shù)函數(shù);

 、诿恳淮蠼M再分為若干合作小組(建議4人一小組);

 、勖拷M都將研究所得到的結論或成果寫出來以便交流。

 。蹖W情設計]

  考慮到各組的水平可能有所不同,教師應巡視,對個別組可做適當?shù)闹笇А?/p>

 。墼O計意圖]

  通過自主探索、合作學習不僅讓學生充當學習的主人更可加深對所得到結論的理解。

  (3)交流、總結(約10~12分鐘)

  師:下面我們開一個成果展示會!

  教師在巡視過程中應關注各組的研究情況,此時可選一些有代表性的小組上臺展示研究成果,并對比從兩個角度入手研究的結果。

  教師可根據(jù)上課的實際情況對學生發(fā)現(xiàn)、得出的結論進行適當?shù)狞c評或要求學生分析。這里除了研究定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外,再引導學生注意是否還有其他性質?

  師:各組在研究過程中除了定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外是否還得到一些有價值的副產(chǎn)品呢?例如:過定點(0,1),y=ax與的圖像關于y。

 。蹖W情設計]

 、偈紫冗x一從解析式的角度研究的小組上臺匯報;

  ②對于從圖像的角度研究的,可先選沒對底數(shù)進行分類的小組上臺匯報;

 、蹎柶渌〗M有沒不同的看法,上臺補充,讓學生對底數(shù)進行分類,引導學生思考哪個量決定著指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以什么為分界,教師可以馬上通過電腦操作看函數(shù)圖像的變化。

  [設計意圖]

 、俸瘮(shù)的表示法有三種:列表法、圖像法、解析法,通過這個活動,讓學生知道研究一個具體的函數(shù)可以也應該從多個角度入手,從圖像角度研究只是能直觀地看出函數(shù)的一些性質,而具體的性質還是要通過對解析式的論證;特別是定義域、值域更是可以直接從解析式中得到的。

  ②讓學生上臺匯報研究成果,讓學生有種成就感,同時還可訓練其對數(shù)學問題的分析和,培養(yǎng)其數(shù)學素養(yǎng)。

 、蹖χ笖(shù)函數(shù)的底數(shù)進行分類是本課的一個難點,讓學生在討論中自己解決分類問題使該難點的突破顯得自然。

  師:從圖像入手我們很容易看出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及過定點(0,1),但定義域、值域卻不可確定;從解析式(結合列表)可以很容易得出函數(shù)的定義域、值域,但對底數(shù)的分類卻很難想到。

  教師通過幾何畫板中改變參數(shù)a的值,追蹤y=ax的圖像,在變化過程中,讓全體學生進一步觀察指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。

  師生共同總結指數(shù)函數(shù)的圖像和性質,教師可以邊總結邊板書。

 。ㄈ╈柟逃柧殹⑻嵘偨Y(約8分鐘)

  1.例:已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖像經(jīng)過點(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值。

  解:因為f(x)=ax的圖像經(jīng)過點(3,π),所以f(3)=π

  即a3=π,解得,于是。

  所以f(0)=1,f(1),F(xiàn)

  [設計意圖]

  通過本題加深學生對指數(shù)函數(shù)的理解。

  師:根據(jù)本題,你能說出確定一個指數(shù)函數(shù)需要什么條件嗎?

  師:從方程思想來看,求指數(shù)函數(shù)就是確定底數(shù),因此只要一個條件,即布列一個方程就可以了。

  [設計意圖]

  讓學生明確底數(shù)是確定指數(shù)函數(shù)的要素,同時向學生滲透方程的思想。

  2.練習:(1)在同一平面直角坐標系中畫出y=3x和的大致圖像,并說出這兩個函數(shù)的性質;

  (2)求下列函數(shù)的定義域:①,②。

  3.師:通過本節(jié)課的學習,你對指數(shù)函數(shù)有什么認識?你有什么收獲?

 。蹖W情設計]

  學生可能只是把指數(shù)函數(shù)的性質總結一下,教師要引導學生談談對函數(shù)研究的學習,即怎么研究一個函數(shù)。

  [設計意圖]

 、僮寣W生再一次復習對函數(shù)的研究方法(可以從也應該從多個角度進行),讓學生體會本課的研究方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去。

  ②總結本節(jié)課中所用到的數(shù)學思想方法。

 、蹚娬{(diào)各種研究數(shù)學的方法之間有區(qū)別又有聯(lián)系,相互作用,才能融會貫通。

  4.作業(yè):課本76頁習題3,A組第3題。

  七、教學反思

  1.本節(jié)課改變了以往常見的函數(shù)研究方法,讓學生從不同的角度去研究函數(shù),對函數(shù)進行一個全方位的研究,不僅僅是通過對比總結得到指數(shù)函數(shù)的性質,更重要的是讓學生體會到對函數(shù)的研究方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去,教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。

  2.教學中借助信息技術可以彌補傳統(tǒng)教學在直觀感、立體感和動態(tài)感方面的不足,可以很容易化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率,本課使用幾何畫板可以動態(tài)地演示出指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的動態(tài)過程,讓學生直觀觀察底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響。

  3.在教學過程中不斷向學生滲透數(shù)學思想方法,讓學生在活動中感受數(shù)學思想方法之美、體會數(shù)學思想方法之重要,部分學生還能自覺運用這些數(shù)學思想方法去分析、思考問題。

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