高中圓的方程練習題
一、填空題
1.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標準方程是________.
[解析] 設圓心C(a，b)(a0，b0)，由題意得b=1.
又圓心C到直線4x-3y=0的距離d==1，
解得a=2或a=-(舍).
所以該圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.
[答案] (x-2)2+(y-1)2=1
2.(2014南京質檢)已知點P(2,1)在圓C：x2+y2+ax-2y+b=0上，點P關于直線x+y-1=0的對稱點也在圓C上，則圓C的圓心坐標為________.
[解析] 因為點P關于直線x+y-1=0的對稱點也在圓上，
該直線過圓心，即圓心滿足方程x+y-1=0，
因此-+1-1=0，解得a=0，所以圓心坐標為(0,1).
[答案] (0,1)
3.已知圓心在直線y=-4x上，且圓與直線l：x+y-1=0相切于點P(3，-2)，則該圓的方程是________.
[解析] 過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3，與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為(1，-4).
半徑r=2，所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
[答案] (x-1)2+(y+4)2=8
4.(2014江蘇常州模擬)已知實數(shù)x，y滿足x2+y2-4x+6y+12=0，則|2x-y|的最小值為________.
[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，
y=-3+sin ，則|2x-y|=|4+2cos +3-sin |
=|7-sin (-7-(tan =2).
[答案] 7-
5.已知圓x2+y2+4x-8y+1=0關于直線2ax-by+8=0(a0，b0)對稱，則+的最小值是________.
[解析] 由圓的對稱性可得，直線2ax-by+8=0必過圓心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，則a2=4b2，又由a+b=2，故當且僅當a=，b=時取等號.
[答案] 9
6.(2014南京市、鹽城市高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，若圓x2+(y-1)2=4上存在A，B兩點關于點P(1，2)成中心對稱，則直線AB的方程為________.
[解析] 由題意得圓心與P點連線垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，
而直線AB過P點，所以直線AB的方程為y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.
[答案] x+y-3=0
7.(2014泰州質檢)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a=________.
[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0，解得-20)關于直線x+y+2=0對稱.
(1)求圓C的方程;
(2)設Q為圓C上的一個動點，求的最小值.
[解] (1)設圓心C(a，b)，
由題意得解得
則圓C的方程為x2+y2=r2，
將點P的坐標代入得r2=2，
故圓C的方程為x2+y2=2.
(2)設Q(x，y)，則x2+y2=2，
=(x-1，y-1)(x+2，y+2)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
令x=cos ，y=sin ，
=x+y-2=(sin +cos )-2
=2sin-2，
所以的最小值為-4.
10.已知圓的圓心為坐標原點，且經過點(-1，).
(1)求圓的方程;
(2)若直線l1：x-y+b=0與此圓有且只有一個公共點，求b的值;
(3)求直線l2：x-y+2=0被此圓截得的弦長.
[解] (1)已知圓心為(0,0)，半徑r==2，所以圓的方程為x2+y2=4.
(2)由已知得l1與圓相切，則圓心(0,0)到l1的`距離等于半徑2，即=2，解得b=4.
(3)l2與圓x2+y2=4相交，圓心(0,0)到l2的距離d==，所截弦長l=2=2=2.
二、填空題
1.在圓x2+y2-2x-6y=0內，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為________.
[解析] 圓的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=10，則圓心(1,3)，半徑r=，
由題意知ACBD，且|AC|=2，|BD|=2=2，
所以四邊形ABCD的面積為S=|AC||BD|
=22=10.
[答案] 10
2.在平面直角坐標系xOy中，已知點P(3,0)在圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點，若ABC的面積的最大值為16，則實數(shù)m的取值范圍為________.
[解析] 圓C的標準方程為(x-m)2+(y-2)2=32，首先由點P在圓內，則(3-m)2+(0-2)232，解得3-2，圓C與直線y=-2x+4不相交，所以t=-2不符合題意，舍去.
故圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
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