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高二數(shù)學(xué)課后練習(xí)題之獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

時(shí)間:2021-06-13 14:09:35 試題 我要投稿

高二數(shù)學(xué)課后練習(xí)題之獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

  一、選擇題

高二數(shù)學(xué)課后練習(xí)題之獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

  1.某一試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則在n次這樣的試驗(yàn)中,A發(fā)生k次的概率為()

  A.1-pk

  B.(1-p)kpn-k

  C.(1-p)k

  D.Ckn(1-p)kpn-k

  [答案] D

  [解析] 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰發(fā)生k次,符合二項(xiàng)分布,而P(A)=p,則P(A)=1-p,故P(X=k)=Ckn(1-p)kpn-k,故答案選D.

  2.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581,則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為()

  A.13 B.25

  C.56 D.34

  [答案] A

  [解析] 事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,由題意得1-C04p0(1-p)4=6581,所以1-p=23,p=13,故答案選A.

  3.流星穿過大氣層落在地面上的概率為0.002,流星數(shù)為10的流星群穿過大氣層有4個(gè)落在地面上的概率為()

  A.3.3210-5 B.3.3210-9

  C.6.6410-5 D.6.6410-9

  [答案] B

  [解析] 相當(dāng)于1個(gè)流星獨(dú)立重復(fù)10次,其中落在地面上的有4次的概率P=C4100.0024(1-0.002)63.3210-9,應(yīng)選B.

  4.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,X~B6,13,則P(X=2)等于()

  A.316 B.4243

  C.13243 D.80243

  [答案] D

  [解析] 已知X~B6,13,P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,當(dāng)X=2,n=6,p=13時(shí)有P(X=2)=C261321-136-2=C26132234=80243.

  5.某一批花生種子,如果每1粒發(fā)芽的概率為45,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()

  A.16625 B.96625

  C.192625 D.256625

  [答案] B

  [解析] P=C24452152=96625.

  6.某電子管正品率為34,次品率為14,現(xiàn)對該批電子管進(jìn)行測試,設(shè)第次首次測到正品,則P(=3)=()

  A.C2314234 B.C2334214

  C.14234 D.34214

  [答案] C

  7.某射手射擊1次,擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.則他恰好擊中目標(biāo)3次的概率為()

  A.0.930.1

  B.0.93

  C.C340.930.1

  D.1-0.13

  [答案] C

  [解析] 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式可知選C.

  8.(2016保定高二期末)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位;移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴,并且向上、向右移?dòng)的概率都是12.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是()

  A.(12)5 B.C25(12)5

  C.C35(12)3 D.C25C35(12)5

  [答案] B

  [解析] 由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位,移動(dòng)的方向向上或向右,移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3),所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)二次,向上移動(dòng)三次,故其概率為C35(12)3(12)2=C35(12)5=C25(12)5.

  二、填空題

  9.已知隨機(jī)變量X~B(5,13),則P(X4)=________.

  [答案] 11243

  10.下列例子中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的有________.

  ①隨機(jī)變量表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù);

 、谀成涫謸糁心繕(biāo)的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)

 、塾幸慌a(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M

 、苡幸慌a(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).

  [答案] ①③

  [解析] 對于①,設(shè)事件A為拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù),P(A)=13.而在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次(k=0,1,2,,n)的概率P(=k)=Ckn13k23n-k,符合二項(xiàng)分布的定義,即有~B(n,13).

  對于②,的取值是1,2,3,,P(=k)=0.90.1k-1(k=1,2,3,n),顯然不符合二項(xiàng)分布的定義,因此不服從二項(xiàng)分布.

  ③和④的區(qū)別是:③是有放回抽取,而④是無放回抽取,顯然④中n次試驗(yàn)是不獨(dú)立的,因此不服從二項(xiàng)分布,對于③有~Bn,MN.

  故應(yīng)填①③.

  11.(2016湖北文,13)一個(gè)病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的'4個(gè)病人中至少3人被治愈的概率為________(用數(shù)字作答).

  [答案] 0.9477

  [解析] 本題主要考查二項(xiàng)分布.

  C340.930.1+(0.9)4=0.9477.

  12.如果X~B(20,p),當(dāng)p=12且P(X=k)取得最大值時(shí),k=________.

  [答案] 10

  [解析] 當(dāng)p=12時(shí),P(X=k)=Ck2015k1220-k

  =1220Ck20,顯然當(dāng)k=10時(shí),P(X=k)取得最大值.

  三、解答題

  13.在一次測試中,甲、乙兩人獨(dú)立解出一道數(shù)學(xué)題的概率相同,已知該題被甲或乙解出的概率是0.36,寫出解出該題人數(shù)X的分布列.

  [解析] 設(shè)甲、乙獨(dú)立解出該題的概率為x,由題意1-(1-x)2=0.36,解得x=0.2.

  所以解出該題人數(shù)X的分布列為

  X 0 1 2

  P 0.64 0.32 0.04

  14.已知某種療法的治愈率是90%,在對10位病人采用這種療法后,正好有90%被治愈的概率是多少?(精確到0.01)

  [解析] 10位病人中被治愈的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布,即X~B(10,0.9),故有9人被治愈的概率為P(X=9)=C9100.990.110.39.

  15.9粒種子分種在3個(gè)坑中,每坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種;若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個(gè)坑需要補(bǔ)種.假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,每補(bǔ)種1個(gè)坑需10元,用X表示補(bǔ)種的費(fèi)用,寫出X的分布列.

  [解析] 因?yàn)橐粋(gè)坑內(nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(1-0.5)3=18,所以一個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為1-18=78.

  3個(gè)坑都不需要補(bǔ)種的概率為

  C031807830.670,

  恰有1個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

  C131817820.287,

  恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

  C231827810.041,

  3個(gè)坑都需要補(bǔ)種的概率為

  C331837800.002.

  補(bǔ)種費(fèi)用X的分布列為

  X 0 10 20 30

  P 0.670 0.287 0.041 0.002

  16.(2016全國Ⅰ理,18)投到某雜志的稿件,先由兩位初審專家進(jìn)行評審.若能通過兩位初審專家的評審,則予以錄用;若兩位初審專家都未予通過,則不予錄用;若恰能通過一位初審專家的評審,則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審,若能通過復(fù)審專家的評審,則予以錄用,否則不予錄用.設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5,復(fù)審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨(dú)立評審.

  (1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率;

  (2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù),求X的分布列.

  [分析] 本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、相互獨(dú)立試驗(yàn)、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識,以及運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力,考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.(1)稿件被錄用這一事件轉(zhuǎn)化為事件稿件能通過兩位初審專家的評審和事件稿件能通過復(fù)審專家的評審的和事件,利用加法公式求解.(2)X服從二項(xiàng)分布,結(jié)合公式求解即可.

  [解析] (1)記A表示事件:稿件能通過兩位初審專家的評審;

  B表示事件:稿件恰能通過一位初審專家的評審;

  C表示事件:稿件能通過復(fù)審專家的評審;

  D表示事件:稿件被錄用.

  則D=A+BC,

  而P(A)=0.50.5=0.25,P(B)=20.50.5=0.5,P(C)=0.3

  故P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.4.

  (2)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(4,0.4),

  X的可能取值為0,1,2,3,4,且P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296

  P(X=1)=C140.4(1-0.4)3=0.3456

  P(X=2)=C240.42(1-0.4)2=0.3456

  P(X=3)=C340.43(1-0.4)=0.1536

  P(X=4)=0.44=0.0256

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