《1.2 應(yīng)用舉例》測(cè)試題及答案參考
《1.2 應(yīng)用舉例（2）》測(cè)試題
一、選擇題
1.有一長(zhǎng)為米的斜坡，它的坡度為，公路建設(shè)部門根據(jù)要求需要在坡底填土，使斜坡的坡度變?yōu)椋瑒t坡底將伸長(zhǎng)( ).
A.米 B. 米 C. 米 D. 米
考查目的：考查正弦定理、二倍角正弦公式的基本應(yīng)用.
答案：D.
解析：如圖，原斜坡為，填土后的斜坡為，要求的長(zhǎng). 根據(jù)題意可知，，，，根據(jù)正弦定理得，∴.
2.(2010北京文)某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽(如圖)，它由腰長(zhǎng)為1，頂角為的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為( ).
A. B.
C. D.
考查目的：考查三角形面積公式、直角三角形邊角關(guān)系或余弦定理，以及三角恒等變形能力.
答案：A.
解析：根據(jù)已知條件，四個(gè)等腰三角形的面積之和為，由直角三角形的邊角關(guān)系得正方形的邊長(zhǎng)為，所以該八邊形的面積為 .
3.(由2009浙江文改編)在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，若．則的面積為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查二倍角余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角形面積公式、向量的數(shù)量積以及運(yùn)算求解能力.
答案：C.
解析：∵，∴，又∵，∴，而，∴，∴的面積為.
二、填空題
4.(2011上海理)在相距2千米的兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)，若，，則兩點(diǎn)之間的距離是 千米.
考查目的：考查三角形內(nèi)角和定理、正弦定理的應(yīng)用.
答案：.
解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，，∴由正弦定理得，∴.
5.三角形的一邊長(zhǎng)為，這條邊所對(duì)的角為，另兩邊之比為，則這個(gè)三角形的面積為 .
考查目的：考查余弦定理及三角形面積公式.
答案：.
解析：不妨設(shè)的邊，，，則由余弦定理得，兩式聯(lián)立解得，，∴.
6.我艦在島南偏西方向相距的處發(fā)現(xiàn)敵艦正從島沿北偏西的方向以每小時(shí)的速度航行，若我艦要用小時(shí)追上敵艦，則我艦追擊的速度為 ，方向?yàn)?(精確到).
考查目的：考查正弦定理、余弦定理以及方程思想的應(yīng)用.
答案：小時(shí)，北偏東.
解析：設(shè)我艦以速度航行，在處追上敵艦. 在中，由題意知，，，，所以根據(jù)余弦定理得，，∴.設(shè)我艦追擊的方向?yàn)楸逼珫|角度，由正弦定理得，，∴，故.
三、解答題：
7.(2008上海)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形．小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為．已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘．若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(zhǎng)(精確到1米)．
考查目的：考查利用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力.
答案：米
解析：(方法一)設(shè)該扇形的半徑為米. 由題意，得米，米，.在中， 即，解得(米).
(方法二)連接，作，交于，由題意，得米，米，，在中，，∴米. .在直角中，(米)，，∴ (米).
8.在中，的對(duì)邊分別為，為邊上的高，且，試求的最大值.
考查目的：考查余弦定理、三角形面積公式、三角函數(shù)的恒等變形和性質(zhì)以及運(yùn)算求解能力.
答案：.
解析：由余弦定理，得. 兩邊同除以，得.∵，∴，即，代入上式得，(其中為銳角，且)，∴的最大值為.
數(shù)學(xué)的三次危機(jī)——第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不存在的，即便以確定無(wú)疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，例如正與負(fù)、加與減、微分與積分、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無(wú)窮、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體對(duì)象與抽象對(duì)象、概念與計(jì)算等等。
在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。當(dāng)矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。而危機(jī)的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。
數(shù)學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過(guò)三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機(jī)。
一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
從某種意義上來(lái)講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來(lái)源予古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。它是一個(gè)唯心主義學(xué)派，興旺的時(shí)期為公元前500年左右。他們認(rèn)為，“萬(wàn)物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界，數(shù)學(xué)的知識(shí)由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺(jué)和日常經(jīng)驗(yàn)。
整數(shù)是在對(duì)于對(duì)象的有限整合進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計(jì)算單個(gè)的對(duì)象，還要度量各種量，例如長(zhǎng)度、重量和時(shí)間。為了滿足這些簡(jiǎn)單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個(gè)整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對(duì)于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的。
有理數(shù)有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋。在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長(zhǎng)，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長(zhǎng)的點(diǎn)的集合來(lái)表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn)。
古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點(diǎn)用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對(duì)應(yīng)任何有理數(shù)的點(diǎn)。特別是，他們證明了：這條直線上存在點(diǎn)p不對(duì)應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)的正方形的對(duì)角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對(duì)應(yīng)這樣的點(diǎn)，并且因?yàn)檫@些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。
無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。首先，對(duì)于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無(wú)理數(shù)看來(lái)與常識(shí)似乎相矛盾。在幾何上的對(duì)應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因?yàn)榕c直觀相反，存在不可通約的線段，即沒(méi)有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個(gè)同類量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。
“邏輯上的矛盾”是如此之大，以致于有一段時(shí)間，他們費(fèi)了很大的精力將此事保密，不準(zhǔn)外傳。但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見(jiàn)的現(xiàn)象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對(duì)每一種情況都單獨(dú)予以了證明。隨著時(shí)間的推移，無(wú)理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實(shí)。
誘發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個(gè)間接因素是之后“芝諾悖論”的出現(xiàn)，它更增加了數(shù)學(xué)家們的擔(dān)憂：數(shù)學(xué)作為一門精確的科學(xué)是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？
在大約公元前370年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無(wú)理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來(lái)的某些困難和微炒之處。
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。
回顧在此以前的各種數(shù)學(xué)，無(wú)非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去的。例如，泰勒斯預(yù)測(cè)日食、利用影子計(jì)算金字塔高度、測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國(guó)、印度等國(guó)的數(shù)學(xué)，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這樣的危機(jī)和革命，也就繼續(xù)走著以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻(xiàn)。
但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對(duì)無(wú)理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。
高考數(shù)學(xué)沖刺指導(dǎo)：數(shù)列問(wèn)題
摘要：為大家?guī)?lái)高考數(shù)學(xué)沖刺指導(dǎo)，希望大家喜歡下文!
近幾年來(lái)，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面;(1)數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。(2)數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。(3)數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，其中主要是以增長(zhǎng)率問(wèn)題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。
知識(shí)整合
1.在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題;
2.在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，
進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。
3.培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法.
總結(jié)：高考數(shù)學(xué)沖刺指導(dǎo)就介紹到這里了，希望能幫助同學(xué)們更好的復(fù)習(xí)本門課程，更多精彩學(xué)習(xí)內(nèi)容請(qǐng)繼續(xù)關(guān)注!
數(shù)學(xué)的三次危機(jī)——第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭(zhēng)論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從歷史或邏輯的觀點(diǎn)來(lái)看，它的發(fā)生也帶有必然性。
這次危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對(duì)無(wú)限性的理解問(wèn)題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無(wú)限的四個(gè)悖論：
“兩分法”：向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過(guò)路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過(guò)路程的1/4點(diǎn)……，如此類推以至無(wú)窮�！Y(jié)論是：無(wú)窮是不可窮盡的過(guò)程，運(yùn)動(dòng)是不可能的。
“阿基里斯(《荷馬史詩(shī)》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個(gè)論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過(guò)的路程一再平分。
“飛矢不動(dòng)”：意思是箭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
“操場(chǎng)或旅游隊(duì)伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)。從靜止的c來(lái)看，比如說(shuō)A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2公里，可是從A看來(lái)，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4公里。運(yùn)動(dòng)是矛盾的，所以運(yùn)動(dòng)是不可能的。
芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個(gè)悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個(gè)悖論詰難了時(shí)間和空間不能無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是間斷的觀點(diǎn)。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對(duì)數(shù)學(xué)的，但是它們?cè)跀?shù)學(xué)王國(guó)中卻掀起了一場(chǎng)軒然大被。它們說(shuō)明了希臘人已經(jīng)看到“無(wú)窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無(wú)法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無(wú)窮小。
經(jīng)過(guò)許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績(jī)主要在于：把各種有關(guān)問(wèn)題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計(jì)算步驟；微分法和積分法互為逆運(yùn)算。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問(wèn)題的重要工具。同時(shí)，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問(wèn)題也越來(lái)越嚴(yán)重。關(guān)鍵問(wèn)題就是無(wú)窮小量究競(jìng)是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。
無(wú)窮小量究竟是不是零？?jī)煞N答案都會(huì)導(dǎo)致矛盾。牛頓對(duì)它曾作過(guò)三種不同解釋：1669年說(shuō)它是一種常量；1671年又說(shuō)它是一個(gè)趨于零的變量；1676年它被“兩個(gè)正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無(wú)法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無(wú)窮小量成比例的有限量的差分來(lái)代替無(wú)窮小量，但是他也沒(méi)有找到從有限量過(guò)渡到無(wú)窮小量的橋梁。
英國(guó)大主教貝克萊于1734年寫文章，攻擊流數(shù)(導(dǎo)數(shù))“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會(huì)因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的�！彼f(shuō)，用忽略高階無(wú)窮小而消除了原有的錯(cuò)誤，“是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”。貝克萊雖然也抓住了當(dāng)時(shí)微積分、無(wú)窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問(wèn)題，不過(guò)他是出自對(duì)科學(xué)的厭惡和對(duì)宗教的維護(hù)，而不是出自對(duì)科學(xué)的追求和探索。
當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家和其他學(xué)者，也批判過(guò)微積分的一些問(wèn)題，指出其缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。例如，羅爾曾說(shuō)：“微積分是巧妙的謬論的匯集�！痹谀莻�(gè)勇于創(chuàng)造時(shí)代的初期，科學(xué)中邏輯上存在這樣那樣的問(wèn)題，并不是個(gè)別現(xiàn)象。
18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的，強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無(wú)窮大概念不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性等等；符號(hào)的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。
直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開(kāi)始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。
波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開(kāi)及求和；柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，認(rèn)識(shí)到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式；他抓住極限的概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定的量而是變量，無(wú)窮小量是以零為極限的變量；并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里赫利給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些工作的基礎(chǔ)上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的極限的定義，連續(xù)的定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上。
19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。
三角函數(shù)線
一、知識(shí)與技能
1. 會(huì)用三角函數(shù)線分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值
2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；
3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題
二、過(guò)程與方法
1.借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力；
2.讓學(xué)生從所學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
1.通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究獲取知識(shí).
2.通過(guò)三角函數(shù)線學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣，拓展思維空間
教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)線的作法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來(lái).
授課類型：新授課
課時(shí)安排：1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程：
一、溫故而知新
1. 前面我們學(xué)習(xí)了利用單位圓定義三角函數(shù)，
復(fù)習(xí)：1單位圓的定義：圓心在圓點(diǎn)，半徑等于單位長(zhǎng)的圓叫做單位圓。
2 三角函數(shù)的定義：如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:
(1)叫做的正弦(sine),記做,即；
(2)叫做的余弦(cossine),記做,即；
(3)叫做的正切(tangent),記做,即.
正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)
師：我們那么能否在此基礎(chǔ)上用幾何圖形來(lái)表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問(wèn)題.
二、研探新知
(1)設(shè)角的'終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足M,
用的三角函數(shù)表示點(diǎn)P的坐標(biāo) ;
線段OM的長(zhǎng)度|OM|= ;
線段MP的長(zhǎng)度|MP|= .
(利用幾何畫板演示,角的變化過(guò)程中,角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的變化)
|MP|=|y|=|sinα|, |OM|=|x|=|cosα|
(2)思考1:如何去掉上述等式中的絕對(duì)值符號(hào),為此能否給線段OM,MP規(guī)定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆较?使它們的取值與點(diǎn)P的坐標(biāo)一致?
2.有向線段
我們知道，直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).
當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí), 規(guī)定：
(1) 以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)的線段：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓�；�?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有
(2)以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)的線段，當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓�；�?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值；其中為點(diǎn)的縱坐標(biāo).這樣,無(wú)論那種情況都有
像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段.
思考2:你能借助單位圓，找到一條如、一樣的線段來(lái)表示角的正切值嗎？
過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交與點(diǎn).
(利用幾何畫板演示)
根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段,我們有
三、三角函數(shù)線
由上述四個(gè)圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段，
于是有
我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段分別稱為角的正弦線,余弦線,正切線.他們統(tǒng)稱三角函數(shù)線
幾點(diǎn)說(shuō)明：
�、偃龡l有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。
②三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn)。
③三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負(fù)值。
�、苋龡l有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。
思考1：角的終邊在x軸或y軸上時(shí), 角的正弦線,余弦線,正切線是怎樣的?
思考2：觀察角的終邊在各位置的情形,分析三角函數(shù)線的變化情況？
四、師生共議，排難解惑，發(fā)展思維
例1.畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
（1）；； （2）．
學(xué)生練習(xí)：畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：
�。�1） （2）
師：請(qǐng)大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法：
第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點(diǎn)；
第二步：過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)垂足為，得正弦線、余弦線；
第三步：過(guò)點(diǎn)(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)設(shè)為，得角的正切線.
特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時(shí)，要注意它們的方
向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書寫
五、三角函數(shù)線的應(yīng)用
例1. 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大�。�
(1) 與 ； (2) tan與tan ；(3)；
(4)已知，試比較的大小.
例2已知是第一象限角，證明sinα+ cosα＞1;
分析：作單位圓，正弦sina=MP;余弦cosa=OM OP=1
在Rt三角形OMP中MP+OM>OP即sinα+cosα＞1;
課后深入探究：
(1) 對(duì)任意角有，sin2 + cos2 = 1
(2) -1≤sin≤1, -1≤cos≤1,
例3利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合：
（1） （2） （3）
例3變式 利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合：
�。�1） ; （2）≤- .
分析：先作出滿足，的角的終邊，
然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.
六、變式練習(xí)，強(qiáng)化概念
變式1：利用三角函數(shù)線作出符合下列條件的角的終邊，并寫出這些角的集合：
�。�1）； 高中物理 （2）； （3）tana （4）；
變式2：求下列函數(shù)的定義域：
�。�1） y = (2) y = lg(3－4sin2x) .
七.課堂小結(jié)
(1)了解有向線段的概念.
(2)了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦,余弦,正切函數(shù)值分別用正弦線,余弦線,正切線表示出來(lái).
(3)用三角函數(shù)線理解三角函數(shù)的定義
�。�4）體會(huì)三角函數(shù)線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
八、作業(yè)：
1課后練習(xí)第三題
2預(yù)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式
教學(xué)后記：本節(jié)課容量較大，使用多媒體輔助教學(xué)，幾何畫板動(dòng)畫演示功能正好可以幫助學(xué)生做數(shù)學(xué)試驗(yàn)，探討數(shù)學(xué)問(wèn)題。這樣充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢(shì)，既豐富了三角函數(shù)線的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，探索精神、創(chuàng)新意識(shí)也有了相應(yīng)的提高。例3變式是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生會(huì)遇到三個(gè)障礙，一是：兩個(gè)角的確定，二是從相等到不等式的過(guò)渡問(wèn)題，三是角的集合的表示問(wèn)題。教學(xué)時(shí)應(yīng)讓引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出解題方法和步驟 ，安排例3目的是為例3變式作鋪墊作用，同時(shí)也降低了知識(shí)的難度，讓其基礎(chǔ)差的學(xué)生也能學(xué)習(xí)和掌握知識(shí)。另外安排課后深入探究其目的為下節(jié)內(nèi)容作鋪墊作用。
《2.2 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)》測(cè)試題
一、選擇題
1.下面命題中正確的是( )．
①若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；
�、谌粢粋�(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；
③若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行；
�、苋粢粋�(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．
A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④
考查目的：考查平面與平面平行的判定.
答案：D.
解析：①②中兩個(gè)平面可以相交，③是兩個(gè)平面平行的定義，④是兩個(gè)平面平行的判定定理.
2.(2011浙江)若直線不平行于平面，且，則( )．
A.內(nèi)的所有直線與異面 B.內(nèi)不存在與平行的直線
C.內(nèi)存在唯一的直線與平行 D.內(nèi)的直線與都相交
考查目的：考查直線與平面的位置關(guān)系.
答案：B.
解析：如圖，在內(nèi)存在直線與相交，所以A不正確；若內(nèi)存在直線與平行，又∵，則∥，與題設(shè)相矛盾，∴B正確，C不正確；在內(nèi)不過(guò)與交點(diǎn)的直線與異面，D不正確.
3.(2012全國(guó)理)已知正四棱柱中 ，AB=2，，E為的中點(diǎn)，則直線與平面BED的距離為( )．
A.2 B. C. D.1
考查目的：考查直線與平面平行的性質(zhì).
答案：D．
解析：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，∵是的中點(diǎn)，∴，且，∴∥平面，即直線 與平面BED的距離等于點(diǎn)C到平面BED的距離，過(guò)C做于，則即為所求距離. ∵底面邊長(zhǎng)為2，高為，∴，，，利用等積法得.
二、填空題
4.平面∥平面，，，則直線，的位置關(guān)系是________.
考查目的：考查平面與平面平行的性質(zhì).
答案：平行或異面.
解析：直線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，所以直線與平行或異面.
5.在正方體中，E是的中點(diǎn)，則與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi)_______.
考查目的：考查直線與平面平行的判定.
答案：平行.
解析：如圖，連接AC、BD交于O點(diǎn)，連結(jié)OE，∵OE∥，而OE?平面ACE， BD平面ACE，∴∥平面ACE.
6.(2011福建文)如圖，正方體中，AB=2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面，則線段EF的長(zhǎng)度等于_____________.
考查目的：考查直線與平面平行的性質(zhì).
答案：.
解析：∵∥平面，平面，平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理，得.又∵E為AD的中點(diǎn)，∴F是CD的中點(diǎn)，即EF為的中位線，∴.又∵正方體的棱長(zhǎng)為2，∴，∴.
三、解答題
7.(2011天津改編)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．求證：.
考查目的：考查直線與平面平行的判定.
解析：連接，.在平行四邊形中，∵為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn).又∵為的中點(diǎn)，∴.∵平面，?平面，∴.
8.如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，，的中點(diǎn)，求證：
�、臖，C，H，G四點(diǎn)共面；⑵平面∥平面BCHG.
考查目的：考查平面與平面平行的判定．
答案：(略).
解析：⑴∵GH是的中位線，∴GH∥.又∵∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.
�、啤逧、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵=EB且∥EB，∴四邊形是平行四邊形，∴∥GB.∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴∥平面BCHG.∵EF＝E，∴平面∥平面BCHG.
高中數(shù)學(xué)筆記誤區(qū)分析
俗話說(shuō)：“好記性不如爛筆頭�！钡拇_，上課時(shí)把講的概念、公式和解題技巧記下來(lái)，把聽(tīng)過(guò)或看過(guò)的重要信息清晰地保存下來(lái)，有利于減輕負(fù)擔(dān)，提高。但在實(shí)際中，不少同學(xué)忙于記筆記，沒(méi)有處理好聽(tīng)、看、記和思的關(guān)系，顧此失彼，從而影響效果。這里，筆者僅就同學(xué)們?cè)诠P記中存在的幾種誤區(qū)進(jìn)行分析，以幫助大家提高記筆記的。
誤區(qū)之一：筆記成了教學(xué)實(shí)錄
有的同學(xué)習(xí)慣于“教師講，自己記，復(fù)習(xí)背，模仿”的學(xué)習(xí)，一節(jié)課下來(lái)，他們的筆記往往記了幾頁(yè)紙，可以說(shuō)是教材和教師板書的“映射”，成了教學(xué)實(shí)錄。這些同學(xué)過(guò)分依賴筆記，忽視的講解，忽視思考，以為講的沒(méi)有聽(tīng)懂不要緊，只要課后認(rèn)真看筆記就可以了。殊不知，這樣做往往會(huì)忽視的一些精彩分析，使自己對(duì)的理解膚淺，增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，學(xué)習(xí)效率反而降低，易形成惡性循環(huán)。一般來(lái)講，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，上課要以聽(tīng)講和思考為主，并簡(jiǎn)明扼要地把教師講的思路記下來(lái)，課本上敘述詳細(xì)的地方可以不記或略記。同時(shí)，要記下自己的疑問(wèn)或閃光的思想。如老師講概念或公式時(shí)，主要記的發(fā)生背景、實(shí)例、分析思路、關(guān)鍵的推理步驟、重要結(jié)論和注意事項(xiàng)等；對(duì)復(fù)習(xí)講評(píng)課，重點(diǎn)要記解題策略(如審題、思路分析、最優(yōu)解法等)以及典型錯(cuò)誤與原因剖析，總結(jié)過(guò)程，揭示解題規(guī)律。記筆記時(shí)，不要把筆記本記滿，要留有余地，以便課后反思、整理，這樣既可以提高效率，又有利于課后有針對(duì)性的復(fù)習(xí)，從而收到事半功倍的效果。
誤區(qū)之二：筆記本成了習(xí)題集
翻開(kāi)一些同學(xué)的數(shù)學(xué)筆記本，可以說(shuō)是大全以及一些解題技巧、一題多解之類的集錦，很少涉及知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、思想方法的提煉及解題策略的整理，沒(méi)有自己的鉆研體驗(yàn)，筆記本成了習(xí)題集。誠(chéng)然，做題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本途徑，多積累一些習(xí)題也是必要的，但若一味做題抄
錄，不認(rèn)真領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想和方法，是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，少量典型習(xí)題及其解法的確要記在筆記本上，但不能就題論題，而是要把重點(diǎn)放在習(xí)題價(jià)值的挖掘上，即注意寫好解題評(píng)注。這就好比安裝在高速公路兩旁的路標(biāo)，它們會(huì)提醒你何時(shí)減速，何時(shí)急轉(zhuǎn)彎，何時(shí)遇到岔路口等。解題也是如此，易錯(cuò)之處或重要的解題思想，要用簡(jiǎn)短精煉的詞語(yǔ)作為評(píng)注，把閃光的智慧用筆頭記下來(lái)，這對(duì)積累經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益。隔一段時(shí)間后，再把它們拿出來(lái)推敲一番，往往會(huì)溫故知新�？傊P記應(yīng)成為自己研究數(shù)學(xué)的心得，指引學(xué)習(xí)前進(jìn)方向的路標(biāo)。
誤區(qū)之三：筆記本成了過(guò)期“期刊”
有些同學(xué)的筆記本好比過(guò)期期刊，時(shí)間一長(zhǎng)就棄于一旁，沒(méi)有發(fā)揮它應(yīng)有的作用，實(shí)在可惜。事實(shí)上，許多高考優(yōu)勝者的經(jīng)驗(yàn)之一就是使自己的筆記成為個(gè)人的“學(xué)習(xí)檔案”和最重要的復(fù)習(xí)。因?yàn)�，好的筆記是課本知識(shí)的濃縮、補(bǔ)充和深化，是思維過(guò)程的展現(xiàn)與提煉。合理利用筆記可以節(jié)省時(shí)間，突出重點(diǎn)、提高效率。當(dāng)然，還要經(jīng)常對(duì)筆記進(jìn)行階段性整理和補(bǔ)充，建立有個(gè)性的學(xué)習(xí)體系。如可以分類建立“錯(cuò)題集”，整理每次練習(xí)和考試中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并作剖析；還可以將筆記整理為“妙題巧解”、“方法點(diǎn)評(píng)”、“易錯(cuò)題”等類別。只要這樣堅(jiān)持做下去，不斷擴(kuò)大成果，就能克服“盲點(diǎn)”，走出&ldquo 高二;誤區(qū)”，到了緊張的綜合復(fù)習(xí)階段，就會(huì)顯得輕松、有序，還可以騰出更多的精力和時(shí)間，把所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、信息化。
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