初中函數(shù)應(yīng)用題及答案
1、(2014濟(jì)寧第8題)“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請(qǐng)根據(jù)你對(duì)這句話的理解，解決下面問(wèn)題
A.m
【考點(diǎn)】：拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】：依題意畫(huà)出函數(shù)y=(x﹣a)(x﹣b)圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解.
【解答】：解：依題意，畫(huà)出函數(shù)y=(x﹣a)(x﹣b)的圖象，
函數(shù)圖象為拋物線，開(kāi)口向上，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b(a
方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0轉(zhuǎn)化為(x﹣a)(x﹣b)=1，方程的兩根是拋物線y=(x﹣a)(x﹣b)與直線y=1的兩個(gè)交點(diǎn).
由拋物線開(kāi)口向上，則在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解題時(shí)，畫(huà)出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結(jié)論，避免了繁瑣復(fù)雜的計(jì)算.
2、(2014年山東泰安第20題)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，且a0)中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：
X﹣1 0 1 3
y﹣1 3 5 3
下列結(jié)論：
(1)ac
(2)當(dāng)x1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.
(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根;
(4)當(dāng)﹣10.
其中正確的個(gè)數(shù)為()
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
【分析】：根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1.5，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各小題分析判斷即可得解.
【解答】：由數(shù)據(jù)可得出：x=1時(shí)，y=5值最大，所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c開(kāi)口向下，a又x=0時(shí)，y=3，所以c=30，所以ac0，故(1)正確;
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c開(kāi)口向下，且對(duì)稱軸為x==1.5，當(dāng)x1.5時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故(2)錯(cuò)誤;
∵x=3時(shí)，y=3，9a+3b+c=3，∵c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根，故(3)正確;
∵x=﹣1時(shí)，ax2+bx+c=﹣1，x=﹣1時(shí)，ax2+(b﹣1)x+c=0，∵x=3時(shí)，ax2+(b﹣1)x+c=0，且函數(shù)有最大值，當(dāng)﹣10，故(4)正確.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與不等式，有一定難度.熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3、(2014年山東煙臺(tái)第11題)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的部分圖象如圖，圖象過(guò)點(diǎn)(﹣1，0)，對(duì)稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：
①4a+b=0;②9a+c③8a+7b+2c④當(dāng)x﹣1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大.
其中正確的結(jié)論有()
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【分析】：根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣=2，則有4a+b=0;觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x=﹣3時(shí)，函數(shù)值小于0，則9a﹣3b+c0，即9a+c由于x=﹣1時(shí)，y=0，則a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根據(jù)拋物線開(kāi)口向下得a0，于是有8a+7b+2c由于對(duì)稱軸為直線x=2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而減小.
【解答】：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=﹣=2，b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正確;
∵當(dāng)x=﹣3時(shí)，y0，9a﹣3b+c0，即9a+c3b，所以②錯(cuò)誤;
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣1，0)，a﹣b+c=0，
而b=﹣4a，a+4a+c=0，即c=﹣5a，8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
∵拋物線開(kāi)口向下，a0，8a+7b+2c0，所以③正確;
∵對(duì)稱軸為直線x=2，
當(dāng)﹣12時(shí)，y隨x的增大而減小，所以④錯(cuò)誤.故選B.
【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小，當(dāng)a0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口;一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab0)，對(duì)稱軸在y軸右;常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于(0，c);拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b2﹣4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);△=b2﹣4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).
4、(2014威海第11題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的`圖象，則下列說(shuō)法：
�、賑=0;②該拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣1;③當(dāng)x=1時(shí)，y=2a;④am2+bm+a0(m﹣1).
其中正確的個(gè)數(shù)是()
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】：由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
【解答】：解：拋物線與y軸交于原點(diǎn)，c=0，故①正確;
該拋物線的對(duì)稱軸是：，直線x=﹣1，故②正確;
當(dāng)x=1時(shí)，y=2a+b+c，
∵對(duì)稱軸是直線x=﹣1，
，b=2a，
又∵c=0，
y=4a，故③錯(cuò)誤;
x=m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=am2+bm+c，
x=﹣1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=a﹣b+c，又x=﹣1時(shí)函數(shù)取得最小值，
a﹣b+c
∵b=2a，
am2+bm+a0(m﹣1).故④正確.
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定.
5、(2014寧波第12題)已知點(diǎn)A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上，則點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為()
A.(﹣3，7)B.(﹣1，7)C.(﹣4，10)D.(0，10)
【考點(diǎn)】：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱.
【分析】：把點(diǎn)A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式并利用完全平方公式整理，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b，再求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱性求解即可.
【解答】：解：∵點(diǎn)A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上，
(a﹣2b)2+4(a﹣2b)+10=2﹣4ab，
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，
(a+2)2+4(b﹣1)2=0，
a+2=0，b﹣1=0，
解得a=﹣2，b=1，
a﹣2b=﹣2﹣21=﹣4，
2﹣4ab=2﹣4(﹣2)1=10，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4，10)，
∵對(duì)稱軸為直線x=﹣=﹣2，
點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，10).
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對(duì)稱性，坐標(biāo)與圖形的變化﹣對(duì)稱，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式并整理成非負(fù)數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵.
6、(2014溫州第10題)矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對(duì)角線的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合.在邊AB從小于AD到大于AD的變化過(guò)程中，若矩形ABCD的周長(zhǎng)始終保持不變，則經(jīng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)A的反比例函數(shù)y=(k0)中k的值的變化情況是()
A.一直增大B.一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大
【考點(diǎn)】：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;矩形的性質(zhì).
【分析】：設(shè)矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長(zhǎng)始終保持不變，則a+b為定值.根據(jù)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可知k=ABAD=ab，再根據(jù)a+b一定時(shí)，當(dāng)a=b時(shí)，ab最大可知在邊AB從小于AD到大于AD的變化過(guò)程中，k的值先增大后減小.
【解答】：解：設(shè)矩形ABCD中，AB=2a，AD=2B.
∵矩形ABCD的周長(zhǎng)始終保持不變，
2(2a+2b)=4(a+b)為定值，
a+b為定值.
∵矩形對(duì)角線的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合
k=ABAD=ab，
又∵a+b為定值時(shí)，當(dāng)a=b時(shí)，ab最大，
在邊AB從小于AD到大于AD的變化過(guò)程中，k的值先增大后減小.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義及不等式的性質(zhì)，有一定難度.根據(jù)題意得出k=ABAD=ab是解題的關(guān)鍵.
7、(2014年山東泰安第17題)已知函數(shù)y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m
A.m+n0 B m+n0 C.m-n0 D.m-n0
【分析】：根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷出m﹣1，n=1，然后求出m+n0，再根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷即可.
【解答】：m﹣1，n=1，所以，m+n0，
所以，一次函數(shù)y=mx+n經(jīng)過(guò)第二四象限，且與y軸相交于點(diǎn)(0，1)，
反比例函數(shù)y=的圖象位于第二四象限，
縱觀各選項(xiàng)，只有C選項(xiàng)圖形符合.故選C.
【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，觀察二次函數(shù)圖象判斷出m、n的取值是解題的關(guān)鍵.
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