華杯賽初賽試題
1．“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽每隔一年舉行一次．今年(1988年)是第二屆．問(wèn)2000年是第幾屆？
�。玻粋�(gè)充氣的救生圈（如右圖）．虛線(xiàn)所示的大圓，半徑是33厘米．實(shí)線(xiàn)所示的小圓，半徑是9厘米．有兩只螞蟻同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度分別沿大圓和小圓爬行．問(wèn)：小圓上的螞蟻爬了幾圈后，第一次碰上大圓上的螞蟻？
3．如右圖是一個(gè)跳棋棋盤(pán)，請(qǐng)你算算棋盤(pán)上共有多少個(gè)棋孔？
4．有一個(gè)四位整數(shù)．在它的某位數(shù)字前面加上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，再和這個(gè)四位數(shù)相加，得數(shù)是2000.81．求這個(gè)四位數(shù)．
5．如圖是一塊黑白格子布．白色大正方形的邊長(zhǎng)是14厘米，白色小正方形的邊長(zhǎng)是6 厘米．問(wèn)：這塊布中白色的面積占總面積的百分之幾？
6．如下圖是兩個(gè)三位數(shù)相減的算式，每個(gè)方框代表一個(gè)數(shù)字．問(wèn)：這六個(gè)方框中的數(shù)字的連乘積等于多少？
7．如右圖中正方形的邊長(zhǎng)是2米，四個(gè)圓的半徑都是1米，圓心分別是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)．問(wèn)：這個(gè)正方形和四個(gè)圓蓋住的面積是多少平方米？
8．有七根竹竿排成一行．第一根竹竿長(zhǎng)1米，其余每根的長(zhǎng)都是前一根的一半．問(wèn)：這七根竹竿的總長(zhǎng)是幾米？
9．有三條線(xiàn)段A、B、C，a長(zhǎng)2.12米，b長(zhǎng)2.71米，c長(zhǎng)3.53米，以它們作為上底、下底和高，可以作出三個(gè)不同的梯形．問(wèn)：第幾個(gè)梯形的面積最大(如下圖)？
10．有一個(gè)電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)響一次鈴．中午12點(diǎn)整，電子鐘響鈴又亮燈．問(wèn)：下一次既響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘？
11．一副撲克牌有四種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌．問(wèn):最少要抽多少?gòu)埮�，才能保證有4張牌是同一花色?
12．有一個(gè)班的同學(xué)去劃船．他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人．問(wèn)：這個(gè)班共有多少同學(xué)？
13． 四個(gè)小動(dòng)物換座位．一開(kāi)始，小鼠坐在第1號(hào)位子，小猴坐在第2號(hào)，小兔坐在第3號(hào)，小貓坐在第4號(hào)．以后它們不停地交換位子．第一次上下兩排交換．第二次 是在第一次交換后再左右兩排交換．第三次再上下兩排交換．第四次再左右兩排交換??這樣一直換下去．問(wèn)：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號(hào)位子上？（參看 下圖）
14．用1、9、8、8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)？
15．如下圖是一個(gè)圍棋盤(pán)，它由橫豎各19條線(xiàn)組成．問(wèn)：圍棋盤(pán)上有多少個(gè)右圖中的小正方形一樣的正方形？
參考答案
1.第八屆 2．11 3．121 4．1981 5．58% 6．0 7．13.42 8．
9．第三個(gè) 10．3點(diǎn)鐘 11．13 12．36人 13．第十次交換座位后，小兔坐在第2號(hào)位子
14．能排成4個(gè)被11除余8的數(shù) 15．100個(gè)
1．【解】“每隔一年舉行一次”的意思是每?jī)赡昱e行1次。1988年到2000年還有2000－1988＝12年，因此還要舉行12÷2＝6屆。1988年是第二屆，所以2000年是1＋6＝8屆。 這題目因?yàn)閿?shù)字不大，直接數(shù)也能很快數(shù)出來(lái)：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分別是第二、三、四、五、六、七、八屆．
答：2000年舉行第八屆．
【注】實(shí)際上，第三屆在1991年舉行的，所以2001年是第八屆.
2．【解】由于兩只螞蟻的速度相同，所以大、小圓上的螞蟻爬一圈的時(shí)間的比應(yīng)該等于圈長(zhǎng)的比．而圈長(zhǎng)的比又等于半徑的比，即：33∶9．
要問(wèn)兩只螞蟻第一次相遇時(shí)小圓上的螞蟻爬了幾圈，就是要找一個(gè)最小的時(shí)間它是大、小圓上螞蟻各自爬行一圈所需時(shí)間的整數(shù)倍．適當(dāng)?shù)剡x取時(shí)間單位，使小圓上的螞蟻爬一圈用
9個(gè)單位的時(shí)間，而大圓上的螞蟻爬一圈用33個(gè)單位的時(shí)間．這樣一來(lái)，問(wèn)題就化為求9和33的最小公倍數(shù)的問(wèn)題了．不難算出9和33的最小公倍數(shù)是99，所以答案為99÷9=11． 答：小圓上的螞蟻爬了11圈后，再次碰到大圓上的螞蟻．
3. 【解】把棋盤(pán)分割成一個(gè)平行四邊形和四個(gè)小三角形，如下圖。平行四邊形中棋孔數(shù)為9×9＝81，每個(gè)小三角形中有10個(gè)棋孔。所以棋孔的總數(shù)是81＋10×4＝121(個(gè)) 答：共有121個(gè)棋孔
4．【解】由于得數(shù)有兩位小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)不可能加在個(gè)位數(shù)之前．如果小數(shù)點(diǎn)加在十位數(shù)之前，所得的數(shù)是原來(lái)四位數(shù)的百分之一，再加上原來(lái)的四位數(shù)，得數(shù)2000.81應(yīng)該是原來(lái)四位數(shù)的1.01倍，原來(lái)的四位數(shù)是2000.81÷1.01＝1981．
類(lèi)似地，如果小數(shù)點(diǎn)加在百位數(shù)之前，得數(shù)2000.81應(yīng)是原來(lái)四位數(shù)的1.001倍，小數(shù)點(diǎn)加在千位數(shù)之前，得數(shù)2000.81應(yīng)是原來(lái)四位數(shù)的1.0001倍．但是（2000.81÷1.001）和（2000．81÷1.0001）都不是整數(shù)，所以只有1981是唯一可能的答案．
答：這個(gè)四位數(shù)是1981．
【又解】注意到在原來(lái)的四位數(shù)中，一定會(huì)按順序出現(xiàn)8，1兩個(gè)數(shù)字．小數(shù)點(diǎn)不可能加在個(gè)位數(shù)之前；也不可能加在千位數(shù)之前，否則原四位數(shù)只能是8100，大于2000.81了． 無(wú)論小數(shù)點(diǎn)加在十位數(shù)還是百位數(shù)之前，所得的數(shù)都大于1而小于100．這個(gè)數(shù)加上原來(lái)的.四位數(shù)等于2000.81，所以原來(lái)的四位數(shù)一定比2000小，但比1900大，這說(shuō)明它的前兩個(gè)數(shù)字必然是1，9．由于它還有8，1兩個(gè)連續(xù)的數(shù)字，所以只能是1981．
5．【解】格子布的面積是下圖面積的9倍，格子布白色部分的面積也是圖上白色面積的9倍，下圖中白色部分所占面積的百分比是：
＝0.58＝58％
答：格子布中白色部分的面積是總面積的58％
.
6．【解】因?yàn)椴畹氖孜皇?，所以被減數(shù)首位是9，減數(shù)的首位是1。第二位上兩數(shù)的差是9，所以被減數(shù)的第二位是9，減數(shù)的第二位是0。于是這六個(gè)方框中的數(shù)字的連乘積等于0。 答：六個(gè)方框中的數(shù)字的連乘積等于0．
7．【解】每個(gè)圓和正方形的公共部分是一個(gè)扇形，它的面積是圓的面積的四分之一.因此，整個(gè)圖形的面積等于正方形的面積加上四塊四分之三個(gè)圓的面積.而四塊四分之三個(gè)圓的面積等于圓面積的三倍.于是整個(gè)圖形的面積等于正方形的面積加上圓面積的三倍．也就是2×2＋π×1×1×3≈13.42(平方米)
答：這個(gè)正方形和四個(gè)圓蓋住的面積約是13.42平方米．
8．【解】(米). 答：七根竹竿的總長(zhǎng)是米．
【又解】我們這樣考慮：取一根2米長(zhǎng)的竹竿，把它從中截成兩半，各長(zhǎng)1米．取其中一根作為第一根竹竿．將另外一根從中截成兩半，取其中之一作為第二根竹竿．如此進(jìn)行下去，
到截下第七根竹竿時(shí)，所剩下的一段竹竿長(zhǎng)為：（米），因此，七根竹竿的總長(zhǎng)度是2米減去剩下一段的長(zhǎng)，也就是 答：七根竹竿的總長(zhǎng)是米．
9．【解】梯形的面積＝(上底＋下底)×高－2．但我們現(xiàn)在是比較三個(gè)梯形面積的大小，所以不妨把它們的面積都乘以2，這樣只須比較(上底＋下底)×高的大小就行了.我們用乘法分配律：
第一個(gè)梯形的面積的2倍是：(2.12＋3.53)×2.71＝2.12×2.7I＋3.53×2.71， 第二個(gè)梯形的面積的2倍是：(2.7l＋3.53)×2.12＝2.71×2.12＋3.53×2.12， 第三個(gè)梯形的面積的2倍是：(2.12＋2.71)×3.53＝2.12×3.53＋2.7I×3.53
先比較第一個(gè)和第二個(gè)兩個(gè)式子右邊的第一個(gè)加數(shù)，一個(gè)是2.12×2.71，
另一個(gè)是2.71×2.12由乘法交換律，這兩個(gè)積相等因此只須比較第二個(gè)加數(shù)的大小就行了，顯然3.53×2.71比3.53×2.12大，因?yàn)?.71比2.12大因此第一個(gè)梯形比第二個(gè)梯形的面積大.類(lèi)似地，如果比較第一個(gè)和第三個(gè)，我們發(fā)現(xiàn)它們右邊第二個(gè)加數(shù)相等．而第一個(gè)加數(shù)2.12×2.71＜2.12×3.53.因此第三個(gè)梯形比第一個(gè)梯形面積大.綜上所述，第三個(gè)梯形面積最大.
答：第三個(gè)梯形面積最大．
10．【解】因?yàn)殡娮隅娒康秸c(diǎn)響鈴，所以我們只要考慮哪個(gè)整點(diǎn)亮燈就行了．從中午12點(diǎn)起，每9分鐘亮一次燈，要過(guò)多少個(gè)9分鐘才到整點(diǎn)呢？由于1小時(shí)＝60分鐘，這個(gè)問(wèn)題換句話(huà)說(shuō)就是：9分鐘的多少倍是60分鐘的整數(shù)倍呢？即求9分和60最小公倍數(shù)．9和60的最小公倍數(shù)是180．這就是說(shuō)，從正午起過(guò)180分鐘，也就是3小時(shí)，電子鐘會(huì)再次既響鈴又亮燈．
答：下一次既響鈴又亮燈時(shí)是下午3點(diǎn)鐘．
11．【解】每種花色各選3張，一共12張，可見(jiàn)抽12張牌不能保證有4張牌是同一花色的. 如果抽13張牌，由于花色只有4種，其中必有一種多于3張，即必有4張牌同一花色. 答：至少要抽13張牌，才能保證有四張牌是同一花色的.
12．【解】先增加一條船，那么正好每條船坐6人.然后去掉兩條船，就會(huì)余下6×2＝12名同學(xué)，改為每條船9人，也就是說(shuō)，每條船增加9－6＝3人,正好可以把余下的12名同學(xué)全部安排上去，所以現(xiàn)在還有12÷3＝4條船，而全班同學(xué)的人數(shù)是9×4＝36人
【又解】由題目的條件可知，全班同學(xué)人數(shù)既是6的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)，因而是6和9的公倍數(shù)．6和9的最小公倍數(shù)是18．如果總數(shù)是18人，那么每船坐6人需要有18÷6＝3條船，而每船坐9人需要18÷9＝2條船，就是說(shuō)，每船坐6人比每船坐9人要多一條船．但由題目的條件，每船坐6人比每船坐9人要多用2條船．可見(jiàn)總?cè)藬?shù)應(yīng)該是18×2＝36． 答：這個(gè)班共有36個(gè)人
13．【解】根據(jù)題意將小兔座位變化的規(guī)律找出來(lái)．
可以看出：每一次交換座位，小兔的座位按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一格，每4次交換座位，小兔的座位又轉(zhuǎn)回原處．知道了這個(gè)規(guī)律，答案就不難得到了．第十次交換座位后，小兔的座位應(yīng)該是第2號(hào)位子．
答：第十次交換座位后，小兔坐在第2號(hào)位子．
14．【解】用1、9、8、8可排成12個(gè)四位數(shù)，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891
它們減去8變?yōu)?980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883
其中被11整除的僅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4個(gè)被1除余8的四位數(shù)，即1988，1889，8918，8819.
【又解】什么樣的數(shù)能被11整除呢？一個(gè)判定法則是：比較奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和，如果它們之差能被11除盡，那么所給的數(shù)就能被11整除，否則就不能夠．
現(xiàn)在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了．所以我們得到“一個(gè)數(shù)被11除余8”的判定法則：將偶位數(shù)字相加得一個(gè)和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加上3，得另一個(gè)和數(shù)，如果這兩個(gè)和數(shù)之差能被11除盡，那么這個(gè)數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是．
要把1、9、8、8排成一個(gè)被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個(gè)數(shù)分成兩組，每組2個(gè)數(shù)字．其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作A；另外一組作為百位和個(gè)位數(shù)，它們之和加上3記作B．我們要適當(dāng)分組，使得能被11整除．現(xiàn)在只有下面4種分組法：
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，第（1）種分組法滿(mǎn)足前面的要求：A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝11能被11除盡．但其余三種分組都不滿(mǎn)足要求．
根據(jù)判定法則還可以知道，如果一個(gè)數(shù)被11除余8，那么在奇位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，或者在偶位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，得到的新數(shù)被11除也余8．于是，上面第（1）分組中，1和8中任一個(gè)可以作為千位數(shù)，9和8中任一個(gè)可以作為百位數(shù)．這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819．
答：能排成4個(gè)被11除余8的數(shù)
15．【解】我們先在右圖小正方形中找一個(gè)代表點(diǎn)，例如右下角的點(diǎn)E作為代表點(diǎn)．然后將小正方形按題意放在圍棋盤(pán)上，仔細(xì)觀察點(diǎn)E應(yīng)在什么地方．通過(guò)觀察，不難發(fā)現(xiàn)：
（1）點(diǎn)E只能在棋盤(pán)右下角的正方形ABCD（包括邊界）的格子點(diǎn)上．
�。�2）反過(guò)來(lái)，右下角正方形ABCD中的每一個(gè)格子點(diǎn)都可以作為小正方形的點(diǎn)E，也只能作為一個(gè)小正方形的點(diǎn)E．這樣一來(lái)，就將“小正方形的個(gè)數(shù)”化為“正方形ABCD中的格子點(diǎn)個(gè)數(shù)”了．很容易看出正方形ABCD中的格子點(diǎn)為10×10＝100個(gè)．
答：共有100個(gè)。
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