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《2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》測試題

時間:2021-03-18 16:00:57 試題 我要投稿

《2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》測試題大全

  一、選擇題

《2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》測試題大全

  1.(2012廣東文改編)函數(shù)的定義域為( ).

  A. B. C. D.

  考查目的:考查函數(shù)的定義域和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

  答案:B.

  解析:要使函數(shù)有意義,必須且,解得函數(shù)的定義域為.

  2.函數(shù)的值域是( ).

  A. B. C. D.

  考查目的:考查函數(shù)的值域和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

  答案:D.

  解析:要使函數(shù)有意義,必須,即.又∵,∴,∴的值域為.

  3.(2012北京文改編)函數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個數(shù)為( ).

  A.0 B.1 C. 2 D.3

  考查目的:考查指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的圖像和性質(zhì).

  答案:B.

  解析:在同一個直角坐標(biāo)系中,分別畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像,觀察這兩個函數(shù)的圖像可得,它們的交點(diǎn)個數(shù)只有1個.

  二、填空題

  4.當(dāng)且時,函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) .

  考查目的:指數(shù)函數(shù)的圖像及平移后過定點(diǎn)的性質(zhì).

  答案:(1,4).

  解析:∵指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,1),函數(shù)的圖像由的圖像向右平移1個單位所得,∴函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,1),再把函數(shù)的圖像向上平移3個單位得到函數(shù)的圖像,∴函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)(1,4).

  5.已知集合,,則 .

  考查目的:指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及集合的基本運(yùn)算.

  答案:.

  解析:∵,∴,∴,∴.

  6.設(shè)在R上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .

  考查目的:考查指數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合思想.

  答案:

  解析:在時為減函數(shù),則,在時為減函數(shù),則,此時顯然恒成立.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.

  三、解答題

  7.已知指數(shù)函數(shù)(且)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,),求,,的值.

  考查目的:考查指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì).

  答案:.

  解析:由函數(shù)(且)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,)得,即,∴.再把0,1,3分別代入得,.

  8.(2012浙江文改編)設(shè)函數(shù)是定義在上、周期為2的偶函數(shù),當(dāng)時,.

 、徘蟮闹担

 、飘(dāng)時,方程有兩解,求的取值范圍.

  考查目的:考查函數(shù)的奇偶性、周期性,以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合思想.

  答案:⑴;⑵的取值范圍為.

  解析:⑴∵函數(shù)是定義在上、周期為2的偶函數(shù),

 、啤咴谑菃握{(diào)增函數(shù),∴.又∵函數(shù)是定義在上、周期為2的偶函數(shù),即函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱,∴在一個周期上,的值域是,∴當(dāng)時,方程有兩解,對應(yīng)的的取值范圍為.

  資陽市高中2016屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)

  本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.第Ⅰ卷1至2頁,第Ⅱ卷3至4頁.全卷共150分,考試時間為120分鐘.

  第Ⅰ卷(選擇題 共50分)

  注意事項:

  1.答第Ⅰ卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.

  2.第Ⅰ卷每小題選出答案后,用2B鉛筆把選擇題答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,不能答在試題卷上.

  3.考試結(jié)束時,監(jiān)考人將第Ⅰ卷的機(jī)讀答題卡和第Ⅱ卷的答題卡一并收回.

  參考公式:

  如果事件A、B互斥,那么 球是表面積公式

  如果事件A、B相互獨(dú)立,那么 其中R表示球的半徑

  球的體積公式

  如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P,那么

  n次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑

  一、選擇題:本大題共10個小題,每小題5分,共50分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目的要求的.

  1.已知全集U=N,集合 , ,則

 。ˋ) (B) (C) (D)

  2.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) (其中 )是純虛數(shù),則m=

 。ˋ)-2 (B)2 (C) (D)

  3.已知命題p:“若直線ax+y+1=0與直線ax-y+2=0垂直,則a=1”;命題q:“ ”是“ ”的充要條件,則

 。ˋ)p真,q假 (B)“ ”真 (C)“ ”真 (D)“ ”假

  4.當(dāng)前,某城市正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收入家庭住房緊張問題.已知甲、乙、丙三個社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶,若第一批經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決這三個社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問題,先采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)戶數(shù),則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為

 。ˋ)40 (B)36 (C)30 (D)20

  5.在拋物線y2=2px(p>0)上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為

 。ˋ) (B) (C) (D)

  6.已知向量a,b不共線,設(shè)向量 , , ,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值為

  (A)10 (B)2

  (C)-2 (D)-10

  7.如果執(zhí)行右面所示的程序框圖,那么輸出的

 。ˋ)2352

 。˙)2450

  (C)2550

 。―)2652

  家電名稱 空調(diào)器 彩電 冰箱

  工 時

  產(chǎn)值(千元) 4 3 2

  8.某家電生產(chǎn)企業(yè)根據(jù)市場調(diào)查分析,決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案,準(zhǔn)備每周(按40個工時計算)生產(chǎn)空調(diào)器、彩電、冰箱共120臺,且冰箱至少生產(chǎn)20臺.已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺所需工時和每臺產(chǎn)值如右表所示.該家電生產(chǎn)企業(yè)每周生產(chǎn)產(chǎn)品的最高產(chǎn)值為

 。ˋ)1050千元 (B)430千元 (C)350千元 (D)300千元

  9.含有數(shù)字0,1,2,且有兩個相同數(shù)字1或2的四位數(shù)的個數(shù)為

 。ˋ)12 (B)18 (C)24 (D)36

  10.已知函數(shù) (其中 ),函數(shù) .下列關(guān)于函數(shù) 的零點(diǎn)個數(shù)的判斷,正確的是

 。ˋ)當(dāng)a>0時,有4個零點(diǎn);當(dāng)a<0時,有2個零點(diǎn);當(dāng)a=0時,有無數(shù)個零點(diǎn)

 。˙)當(dāng)a>0時,有4個零點(diǎn);當(dāng)a<0時,有3個零點(diǎn);當(dāng)a=0時,有2個零點(diǎn)

 。–)當(dāng)a>0時,有2個零點(diǎn);當(dāng)a≤0時,有1個零點(diǎn)

  (D)當(dāng)a≠0時,有2個零點(diǎn);當(dāng)a=0時,有1個零點(diǎn)

  第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)

  注意事項:

  1.第Ⅱ卷共2頁,請用0.5mm的黑色墨水簽字筆在答題卡上作答,不能直接答在此試題卷上.

  2.答卷前將答題卡密封線內(nèi)的項目填寫清楚.

  二、填空題:本大題共5個小題,每小題5分,共25分.把答案直接填在題目中的橫線上.

  11.在二項式 的展開式中,常數(shù)項為_________.

  12.在鈍角△ABC中,a,b,c分別為角A、B、C的對邊,b=1,c= ,∠B=30°,則△ABC的面積等于___________.

  13.已知非零向量 , 滿足 ,則向量 與 的夾角為__________.

  14. 設(shè)P是雙曲線 上的一點(diǎn), 、 分別是該雙曲線的左、右焦點(diǎn),若△ 的面積為12,則 _________.

  15.若函數(shù) 對定義域的每一個值 ,在其定義域內(nèi)都存在唯一的 ,使 成立,則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.給出以下命題:① 是“依賴函數(shù)”;② ( )是“依賴函數(shù)”;③ 是“依賴函數(shù)”;④ 是“依賴函數(shù)”;⑤ , 都是“依賴函數(shù)”,且定義域相同,則 是“依賴函數(shù)”.其中所有真命題的序號是_____________.

  三、解答題:本大題共6個小題,共75分.解答要寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

  16.(本小題滿分12分) 某校團(tuán)委會組織該校高中一年級某班以小組為單位利用周末時間進(jìn)行了一次社會實(shí)踐活動,且每個小組有5名同學(xué),在實(shí)踐活動結(jié)束后,學(xué)校團(tuán)委會對該班的所有同學(xué)都進(jìn)行了測評,該班的A、B兩個小組所有同學(xué)所得分?jǐn)?shù)(百分制)的莖葉圖如圖所示,其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損,但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高1分.

 。á瘢┤粼贏,B兩組學(xué)生中各隨機(jī)選1人,求其得分均超過86分的概率;

 。á颍┤粜F(tuán)委會在該班A,B兩組學(xué)生得分超過80分的同學(xué)中隨機(jī)挑選3人參加下一輪的參觀學(xué)習(xí)活動,設(shè)B組中得分超過85分的同學(xué)被選中的個數(shù)為隨機(jī)變量

  如何抓住高中數(shù)學(xué)的主要脈絡(luò)

  【摘要】“如何抓住高中數(shù)學(xué)的主要脈絡(luò)”數(shù)學(xué)知識具有系統(tǒng)化的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要勤于思考,善于歸納總結(jié),抓住知識的主要脈絡(luò)。

  一、粗線條

  課本目錄就是了解整本書的粗線。復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時應(yīng)先看目錄,了解整體。通過目錄可以看到這一章的知識框架,形成知識體系 高中物理,粗略回憶每一小節(jié)所講的內(nèi)容,涉及到哪些概念、公式、定理,以及對它們的理解,通過目錄就可自測出自己對這一章的掌握情況如何,以便于有針對性的復(fù)習(xí)。

  二、細(xì)線條

  數(shù)學(xué)知識體系中另一條較為具體的線,就是概念和公式。概念和公式是解答所有數(shù)學(xué)題的依據(jù),同時也是基礎(chǔ),抓住這條線,就可以掌握課本中重點(diǎn)內(nèi)容。整理細(xì)線條的方法有兩種:

  1、串公式

  復(fù)習(xí)時對照課本,把每一章節(jié)中出現(xiàn)的`定理或公式,按順條抄在筆記本上,成為復(fù)習(xí)的提綱。然后,把這些公式反復(fù)背熟記牢。復(fù)習(xí)的時候,反過來先看筆記本上的定理公式,以公式為綱,對照公式回憶它們的應(yīng)用,及相關(guān)的知識點(diǎn)。;回憶不出來時再回過頭去看書。

  2、公式推導(dǎo)法

  同樣方法把課本中的公式抄下來,然后從頭到尾自己進(jìn)行公式推導(dǎo),在推導(dǎo)的過程中,如果兩道公式之間存在聯(lián)系,就用線條把這兩道公式聯(lián)結(jié)起來,以便一起復(fù)習(xí)。比如,列出的公式中,公式B應(yīng)用到公式A作為一個線條,那么就在這兩道公式中劃線聯(lián)結(jié),A——B,這樣復(fù)習(xí)起來,知識之間的邏輯關(guān)系就一目了然。

  誘導(dǎo)公式記憶口訣

  ※規(guī)律總結(jié)※

  上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為:

  對于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函數(shù)值,

 、佼(dāng)k是偶數(shù)時,得到α的同名函數(shù)值,即函數(shù)名不改變;

  ②當(dāng)k是奇數(shù)時,得到α相應(yīng)的余函數(shù)值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

  (奇變偶不變)

  然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。

  (符號看象限)

  例如:

  sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4為偶數(shù),所以取sinα。

  當(dāng)α是銳角時,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符號為“-”。

  所以sin(2π-α)=-sinα

  上述的記憶口訣是:

  奇變偶不變,符號看象限。

  公式右邊的符號為把α視為銳角時,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α

  所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶

  水平誘導(dǎo)名不變;符號看象限。

  各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷,也可以記住口訣“一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割)”.

  這十二字口訣的意思就是說:

  第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;

  第二象限內(nèi)只有正弦是“+”,其余全部是“-”;

  第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”,弦函數(shù)是“-”;

  第四象限內(nèi)只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

  上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦

  還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負(fù):

  函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

  正弦 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。。。。!。。。。。。。。

  余弦 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。

  正切 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。!。。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。!。。。。。。。。

  余切 。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。。—。。。。。。。。。。。。+。。。。。。。。。。。!。。。。。。。。

  同角三角函數(shù)基本關(guān)系

  同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

  倒數(shù)關(guān)系:

  tanα·cotα=1

  sinα·cscα=1

  cosα·secα=1

  商的關(guān)系:

  sinα/cosα=tanα=secα/cscα

  cosα/sinα=cotα=cscα/secα

  平方關(guān)系:

  sin^2(α)+cos^2(α)=1

  1+tan^2(α)=sec^2(α)

  1+cot^2(α)=csc^2(α)

  同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

  六角形記憶法:(參看圖片或參考資料鏈接)

  構(gòu)造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。

  (1)倒數(shù)關(guān)系:對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);

  (2)商數(shù)關(guān)系:六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。

  (主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此,可得商數(shù)關(guān)系式。

  (3)平方關(guān)系:在帶有陰影線的三角形中,上面兩個頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。

  經(jīng)過精心的整理,有關(guān)“精選高中數(shù)學(xué)公式:高中數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式記憶口訣”的內(nèi)容已經(jīng)呈現(xiàn)給大家,祝大家學(xué)習(xí)愉快!

  如何學(xué)好數(shù)學(xué)

  【編者按】首先聰明和敏捷對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說固然重要,但良好的學(xué)習(xí)方法可以把學(xué)習(xí)效果提高幾倍,這是先天因素不可比擬的。學(xué)好數(shù)學(xué)首先要過的是心理關(guān)。任何事情都有一個由量變到質(zhì)變的循序漸進(jìn)的積累過程。

  一.預(yù)習(xí)。不等于瀏覽。要深入了解知識內(nèi)容,找出重點(diǎn),難點(diǎn),疑點(diǎn),經(jīng)過思考,標(biāo)出不懂的,有益于聽課抓住重點(diǎn),還可以培養(yǎng)自學(xué)能力,有時間還可以超前學(xué)習(xí)。

  二.聽講。核心在課堂。1。以聽為主,兼顧記錄。2。注重過程,輕結(jié)論。

  3.有重點(diǎn)。4。提高聽課效率。

  三.復(fù)習(xí)。像演電影一樣把課堂復(fù)習(xí),整理筆記,

  四.多做練習(xí)。1。晚上吃飯后,坐到書桌時,看數(shù)學(xué)最適合,2。做一道數(shù)學(xué)題,每一步都要多問個別為什么,不能只滿足于老師課堂上的灌輸式傳授和書本上的簡單講述,要想提高必須要一步一步推,一步一步想,每個過程都必不可少,3。不要粗心大意,4。做完每一道題,要想想為什么會想到這樣做,大腦建立一種條件發(fā)射,關(guān)鍵在于每做一道題要從中得到東西,錯在哪,5。解題都有固定的套路。6還有大膽的夸獎自己,那是樹立信心的關(guān)鍵時刻,

  五.總結(jié)。1。要將所學(xué)的知識變成知識網(wǎng),從大主干到分枝,清晰地深存在腦中,新題想到老題,從而一通百通。2。建立錯誤集,錯誤多半會錯上兩次,在有意識改正的情況下,還有可能錯下去,最有效的應(yīng)該是會正確地做這道題,并在下次遇到同樣情況時候有注意的意識。3。周末再將一周做的題回頭看一番,提出每道題的思路方法。4有問題一定要問。

  六.考前復(fù)習(xí),1。前2周就要開始復(fù)習(xí),做到心中有數(shù),否則會影響發(fā)揮,再做一遍以前的錯題是十分必要的,據(jù)說有一個同學(xué)平時只有一百零幾,離高考只有一個月,把以前錯題從頭做一遍,最后他數(shù)學(xué)居然得了147分。2。要重視基礎(chǔ),

  另外,聽老師的話,勤學(xué)苦練不可少,成功沒有捷徑,要樂觀,有毅力,要有決心,還要有耐心,學(xué)數(shù)學(xué)是一個很長的過程,你的努力于回報往往不能那么盡如人意的成正比,甚至?xí)邢缕侣返内厔,但只要堅持下去,那條成績線會抬起頭來,一定能看到光明。

  南昌市高中新課程訓(xùn)練題(三角函數(shù)1)

  一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分)

  1.的值屬于區(qū)間 ( )

  A. B. C. D.

  2.若是第三象限角,則下列結(jié)論正確的為 ( )

  A. B. C. D.

  3.下列與的值相等的式子為 ( )

  A. B. C. D.

  4. 設(shè),如果且,那么的取值范圍是 ( )

  A. B. C. D.

  5.若,則的值等于 ( )

  A. B. C. D.

  6.化簡的結(jié)果為 ( )

  A. B. C. D.1

  7.函數(shù)的圖象按平移后得到的圖象與的圖象重合,則可以是 ( )

  A. B. C. D.

  8.函數(shù)是周期為 的 函數(shù). ( )

  A.,奇 B.,偶 C.2,奇 D. 2,非奇非偶

  9.函數(shù)的一個減區(qū)間為 ( )

  A. B. C. D.

  10.對任意的銳角,下列不等式中正確的是 ( )

  A. B.

  C. D.

  11.ABC中,已知 則下列正確的結(jié)論為 ( )

  A. B. C. D.

  12.已知函數(shù),則的值域為 ( )

  A.[-4,4] B.[-5,5] C.[-4,5] D.[-5,4]

  二、填空題(本題共4小題,每小題4分,共16分)

  13.圓的一段弧長等于該圓外切正三角形的邊長,則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是 .

  14. 已知函數(shù) 則 .

  15. 求值 .

  16.銳角三角形的三內(nèi)角A、B、C滿足,那么(1) ; (2)若,則角A= .

  三、解答題(本題共6小題,共74分)

  17.已知.(1)求的值; (2) 求的值.

  18. 已知,求的值.

  19.已知.(1)求的值; (2)設(shè),求的值.

  20. 若為銳角,求.

  21.已知是第一象限角且,是第二象限角且,求的值.

  22. 已知.

  (Ⅰ)求的值;

 。á颍┣蟮闹.

  參考答案

  一、 選擇題

  題號

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  11

  12

  答案

  D

  D

  D

  C

  D

  B

  C

  A

  C

  D

  C

  C

  二、填空題

  13. 14. 15. 2 16.

  三、解答題

  17. 解: (1) .

  (2)原式

  18. 解:

  19.解: (1)

  (2)

  20.解: 且,

  否則,若 而 則與條件不符

  21.解:可知

  22.解:(Ⅰ)由得,

  即 ,

  又,所以為所求.

  《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書·數(shù)學(xué)1》第二章“基本初等函數(shù)(

  指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)中某些變化規(guī)律的重要的數(shù)學(xué)模型,是高中階段學(xué)習(xí)的三類重要且常用的基本初等函數(shù),也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本章中,學(xué)生將在第一章學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,通過三個具體的基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí),進(jìn)一步理解函數(shù)的概念與性質(zhì),學(xué)習(xí)用函數(shù)模型研究和解決一些實(shí)際問題的方法。

  一、內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

  本章主要學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的概念和性質(zhì)。通過本章學(xué)習(xí),應(yīng)使學(xué)生達(dá)到以下的學(xué)習(xí)目標(biāo):

  1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。

  2.理解有理指數(shù)冪的含義,通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算。

  3.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,能借助計算器或計算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。

  4.在解決簡單實(shí)際問題的過程中,體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。

  5.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù);通過閱讀材料,了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運(yùn)算的作用。

  6.通過具體實(shí)例,直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系,初步理解對數(shù)函數(shù)的概念,體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;能借助計算器或計算機(jī)畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。

  7.知道指數(shù)函數(shù)y=ax 與對數(shù)函數(shù)y=loga x互為反函數(shù)(a > 0, a≠1)。

  8.通過實(shí)例,了解冪函數(shù)的概念;結(jié)合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的圖象,了解它們的變化情況。

  二、內(nèi)容安排

  全章分為三節(jié),教學(xué)時間約需15課時,具體分配如下(僅供參考):

  2.1 指數(shù)函數(shù) 約6課時

  2.2 對數(shù)函數(shù) 約6課時

  2.3 冪函數(shù) 約1課時

  小結(jié) 約2課時

  本章知識結(jié)構(gòu)如下:

  1.本章首先涉及指數(shù)冪的擴(kuò)充。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念,又學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.有了這些知識作準(zhǔn)備,教科書通過實(shí)際問題引出了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,說明了擴(kuò)張指數(shù)取值范圍的必要性,由此先將平方根與立方根的概念擴(kuò)充到n次方根,將二次根式的概念擴(kuò)充到一般根式的概念,然后進(jìn)一步探究了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì),最后通過有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪,通過一個實(shí)例介紹了無理指數(shù)冪的概念,將指數(shù)的范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)。

  2.指數(shù)函數(shù)是高中新引進(jìn)的第一個基本初等函數(shù),因此,教科書先給出了指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,然后對指數(shù)函數(shù)概念的建立、指數(shù)函數(shù)圖象的繪制、指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與指數(shù)函數(shù)的初步應(yīng)用,作了完整的介紹。指數(shù)函數(shù)是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一.

  3.教科書從具體問題引進(jìn)對數(shù)概念。從對數(shù)概念的建立過程可以看出,教科書是從指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算的互逆關(guān)系來建立對數(shù)概念的(這與歷史上對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)不同),這為學(xué)生學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)與論證對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)提供了方便。與傳統(tǒng)教科書另一個較明顯的區(qū)別是,這里加強(qiáng)了對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用與數(shù)學(xué)文化背景。

  4.對數(shù)函數(shù)同指數(shù)函數(shù)一樣,是以對數(shù)概念和運(yùn)算法則作為基礎(chǔ)講授的.對數(shù)函數(shù)的研究過程也同指數(shù)函數(shù)的研究過程一樣,目的是讓學(xué)生對建立和研究一個具體函數(shù)的方法有較完整的認(rèn)識。在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)后,以兩個底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)介紹了反函數(shù)的概念。對一般的反函數(shù)概念,教科書根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求沒有作更多的介紹,這也是與傳統(tǒng)教科書有區(qū)別的另一個地方。

  5.冪函數(shù)是實(shí)際問題中常見的一類函數(shù),教科書是從具體問題中歸納了以1、2、3、 、-1這五個數(shù)作為指數(shù)的冪函數(shù)y=x, ,并通過它們的圖象歸納出這五個冪函數(shù)的基本性質(zhì)。

  三、本章編寫中考慮的幾個問題

  1.以適當(dāng)?shù)膯栴}帶動學(xué)生的學(xué)習(xí),使他們在解決問題的過程中自主地建構(gòu)知識

  問題是思維的動力,是生長新思想、新方法與新知識的種子。課程內(nèi)容“問題化”,實(shí)際上是將那種從定義到概念到定理,再用概念和原理解決問題的“演繹式”教材體系,轉(zhuǎn)化為問題引導(dǎo)的,體現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展過程的,從大量的、豐富的具體事例中通過歸納概括而獲得數(shù)學(xué)的概念與法則的“歸納式”教材體系。這樣的轉(zhuǎn)化有利于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改進(jìn),能促使他們積極主動學(xué)習(xí)。本章充分關(guān)注高中學(xué)生的心理發(fā)展和分析能力、思維能力明顯增強(qiáng)的特點(diǎn),強(qiáng)調(diào)以問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)和興趣,引起學(xué)生的“認(rèn)知沖突”,使他們帶著問題學(xué)習(xí)。例如,在“指數(shù)”與“指數(shù)函數(shù)”的內(nèi)容中,教科書先給出了兩個實(shí)際例子:GDP的增長問題、碳-14的衰減問題。前一個問題是為了讓學(xué)生回顧初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的整數(shù)指數(shù)冪,體會其中的函數(shù)模型;后一個問題是為了讓學(xué)生進(jìn)一步感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的強(qiáng)烈欲望,為新知識的學(xué)習(xí)作鋪墊。

  又如,在2.1.2的“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中,教科書安排了問題“例8 截止到1999年底,我國人口約13億。如果今后能將人口年平均增長率控制在1%,那么經(jīng)過20年后,我國人口約為多少(精確到億)?”在學(xué)習(xí)“對數(shù)”概念時,教科書首先提出的問題是:“在2.1.2的例8中,我們能從關(guān)系中,算出任意一個年頭的人口總數(shù)。反之,如果問‘哪一年的人口數(shù)約為18億,20億,30億……?’該如何解決?”,這樣的問題可以使學(xué)生看到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究源于社會生活、生產(chǎn)的需要,可以促進(jìn)學(xué)生在解決問題的過程中理解知識。

  2.強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動手操作和主動參與,讓他們在觀察、操作、探究等活動中歸納和發(fā)現(xiàn)知識與結(jié)論,使學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改進(jìn)落在實(shí)處

  為了促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí),提高他們分析問題和解決問題的能力,教科書充分重視為學(xué)生提供動手操作與主動參與的機(jī)會。例如,在“無理數(shù)指數(shù)冪”的學(xué)習(xí)中,不僅讓學(xué)生根據(jù)提供的數(shù)據(jù)表格,觀察無理指數(shù)冪是怎樣用有理指數(shù)冪來逼近的,同時還安排了“思考”,讓學(xué)生自己動手制表、觀察并說明無理指數(shù)冪的含義。又如,在繪制指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的過程中,教科書沒有提供完整的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表,而是留空讓學(xué)生自己填充。再如,在“冪函數(shù)”的基本性質(zhì)的處理上,教科書設(shè)計了如下活動:

  探究 觀察圖2.3-1,將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表內(nèi):

  定義域

  值域

  奇偶性

  單調(diào)性

  定點(diǎn)

  3. 積極探索數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的整合,適當(dāng)體現(xiàn)信息技術(shù)的應(yīng)用

  為了更好地發(fā)揮信息技術(shù)的作用,為學(xué)生進(jìn)行自主探究、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)提供有力的認(rèn)知工具,本章加強(qiáng)了信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合。如“用有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪”中的近似計算,利用“碳-14”含量測定生物體死亡時間等。特別是在利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)的內(nèi)容中,教科書安排了以下的內(nèi)容:

  探究 選取底數(shù)( )的若干個不同的值,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的圖象。觀察圖象,你能發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同特征?

  探究 選取底數(shù)()的若干個不同的值,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的圖象。觀察圖象,你能發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同特征?

  上述探究活動,為學(xué)生使用信息技術(shù)發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)提供了機(jī)會,可以讓學(xué)生在信息技術(shù)構(gòu)建的動態(tài)環(huán)境下,通過觀察函數(shù)圖象的連續(xù)變化,發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)。

  4. 重視數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題的聯(lián)系,關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)是自然的并且是有用的

  為了使學(xué)生感受指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)背景,使學(xué)生感到引進(jìn)和研究它們的必要性,在本章的每一個概念的產(chǎn)生過程中,都注意了通過具體實(shí)例,展示函數(shù)模型的實(shí)際背景,使學(xué)生理解不同的變化現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)用不同的函數(shù)模型來描述。同時,在例題、練習(xí)、習(xí)題與復(fù)習(xí)參考題中,安排了較多的實(shí)際應(yīng)用問題,如人口問題、碳-14考古問題、增長率問題、細(xì)胞分裂問題、地震震級計算問題、溶液酸度的測量問題、臭氧層保護(hù)問題等,以加強(qiáng)本章研究的基本初等函數(shù)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系性。

  四、對教學(xué)的幾個建議

  1.突出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界中的重要數(shù)學(xué)模型,強(qiáng)調(diào)它們的實(shí)際背景和應(yīng)用價值。

  把指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí),要求結(jié)合實(shí)際問題,感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程與方法,強(qiáng)調(diào)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類不同的函數(shù)增長模型,這是本章學(xué)習(xí)要求的重要變化。因此,要加強(qiáng)讓學(xué)生通過具體實(shí)例了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型實(shí)際背景的教學(xué);要利用適當(dāng)?shù)氖吕,讓學(xué)生體會、認(rèn)識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義;另外,還可以要求學(xué)生通過收集現(xiàn)實(shí)生活中普遍使用的函數(shù)模型實(shí)例,去了解這些函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。

  2.引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

  本章中,指數(shù)冪概念及其運(yùn)算性質(zhì)的拓展內(nèi)涵了數(shù)學(xué)研究中對數(shù)學(xué)知識發(fā)展的邏輯合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性的要求,教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會。指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),是在根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上,先將整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì);然后在有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪的思想指導(dǎo)下,再將有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到了實(shí)數(shù)范圍。指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的每一次推廣,都需要考慮嚴(yán)謹(jǐn)性的要求。

  3.充分發(fā)揮函數(shù)圖象的幾何直觀作用,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)。

  數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法是本章學(xué)習(xí)中的重要思想方法,它們對于理解本章的幾個基本初等函數(shù)的性質(zhì)(例如增長模式)是十分重要的,同時信息技術(shù)又使得函數(shù)作圖變得方便、快捷,并且可以構(gòu)建一種動態(tài)環(huán)境,為學(xué)生利用圖象直觀研究函數(shù)性質(zhì)提供了有力工具。因此,教學(xué)中應(yīng)充分注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用,讓學(xué)生自己作出函數(shù)圖像,通過觀察圖象變化規(guī)律來研究函數(shù)的性質(zhì)。

  4.恰當(dāng)使用信息技術(shù)

  教科書雖然沒有明確提示利用信息技術(shù)研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),但本章中有許多內(nèi)容適合使用信息技術(shù),例如指數(shù)、對數(shù)值的計算;借助計算工具,比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長的差異;借助計算器或計算機(jī)畫出具體的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解它們的單調(diào)性與特殊點(diǎn),等等。因此,只要條件允許,教學(xué)中就應(yīng)當(dāng)充分使用信息技術(shù)。

  5.注意把握教學(xué)要求

  與以往教材比較,本章在內(nèi)容、要求以及處理方式上都發(fā)生了許多變化,歸納起來有如下幾點(diǎn):

 。1)以往教材要求掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),不要求學(xué)生了解無理指數(shù)冪,不要求用有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪;本章要求通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算,并體會“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想。

 。2)以往教材在對數(shù)換底公式上沒有要求;這里要求學(xué)生知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)。

  (3)以往教材要求掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì);這里要求能借助計算器或計算機(jī)畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。

 。4)以往教材要求了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系,會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù);這里對反函數(shù)的處理,只要求以具體函數(shù)為例進(jìn)行解釋和直觀理解,只通過比較同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),說明指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=loga x互為反函數(shù)(a > 0,a≠1),不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義,也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)。

 。5)以往教材不要求學(xué)習(xí)冪函數(shù);這里要求通過實(shí)例,了解冪函數(shù)的概念;結(jié)合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的圖象,了解它們的變化情況。

  (6)以往教材對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用沒有給出明確的要求;這里要求學(xué)生在解決簡單實(shí)際問題的過程中,體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型,體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實(shí)問題中的作用。

  教學(xué)中要切實(shí)關(guān)注上述變化,把主要精力用在讓學(xué)生通過具體實(shí)例了解指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景,通過實(shí)例體會、認(rèn)識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義,以及了解這些函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用上,而不要過分地追求那些細(xì)枝末節(jié)(如求定義域、值域,討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等)。

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