數(shù)學(xué)知識(shí)不確定性的價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)論文
20世紀(jì)末21世紀(jì)初,人類(lèi)知識(shí)觀發(fā)生了重大變化：知識(shí)不再被認(rèn)為是“真理”而被當(dāng)作一個(gè)暫時(shí)的結(jié)論。它有待發(fā)展、修訂與完善。正如波普爾（Pop?per,K.)所言：“所有的科學(xué)知識(shí)，不僅是科學(xué)知識(shí),在實(shí)質(zhì)上都是‘猜測(cè)性的知識(shí)’，都是我們對(duì)于某些問(wèn)題所提出的暫時(shí)回答”。換句話說(shuō),人們認(rèn)為知識(shí)具有不確定性。由于知識(shí)是教育的主要內(nèi)容，因此知識(shí)觀的變化必然帶來(lái)教育的變化。本文主要討論數(shù)學(xué)知識(shí)的不確定性及其教學(xué)問(wèn)題。
一、數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性及其教育局限
數(shù)學(xué)知識(shí)具有確定性,其發(fā)展也是沿著確定性的道路進(jìn)行的,但這種確定性是有限度的。超過(guò)了這個(gè)限度,將不利于數(shù)學(xué)教育價(jià)值的實(shí)現(xiàn)。
(一)數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性及其表征
1.數(shù)學(xué)知識(shí)確定性的涵義
通常認(rèn)為，在所有知識(shí)中，數(shù)學(xué)是最確定的。正因?yàn)槿绱耍抽T(mén)學(xué)科能否稱(chēng)為“科學(xué)”，關(guān)鍵就看其能否被數(shù)學(xué)化（即能否運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法來(lái)進(jìn)行研究）。數(shù)學(xué)成了衡量其它學(xué)科能否成為科學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)。比如，社會(huì)學(xué)之所以成為一門(mén)科學(xué)，就在于孔德（Comte,A.)將實(shí)證（其中最主要是運(yùn)用了數(shù)學(xué)的手段）方法引入了社會(huì)學(xué)。那什么是數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性呢？簡(jiǎn)而言之,數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性是指數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)論是精確的,而且這一結(jié)論是可信的。數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性既指數(shù)學(xué)知識(shí)是精確的,也指數(shù)學(xué)知識(shí)是客觀的，還指數(shù)學(xué)知識(shí)是永恒的、超越時(shí)空的。
2.數(shù)學(xué)知識(shí)確定性的表征
(1)數(shù)學(xué)知識(shí)確定性的歷史追溯
數(shù)學(xué)知識(shí)自產(chǎn)生起,就沿著確定性的道路向前發(fā)展。柏拉圖（Plato)將世界劃分為在的世界和變的世界，數(shù)學(xué)屬于在的世界，是不變的。在《理想國(guó)》第七卷中，他認(rèn)為數(shù)學(xué)是科學(xué)，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)的真正目的是純粹為了……關(guān)于永恒事物的，而不是關(guān)于某種有時(shí)產(chǎn)生和滅亡的事物的……知識(shí)”歐幾里得（Euclid,A.)的《幾何原本》被當(dāng)作是確定性數(shù)學(xué)知識(shí)的代表作,全書(shū)包括23條定義、五條公理和五條公設(shè)。歐幾里得認(rèn)為公設(shè)是適用于一切科學(xué)的真理，公理是幾何學(xué)中的真理，它們都是確定無(wú)疑、無(wú)須證明的。
中世紀(jì),人們認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是上帝預(yù)先設(shè)計(jì)好的、確定的客觀真理。在《哲學(xué)原理》中，笛卡爾（Descartes,R.)認(rèn)為要使哲學(xué)能夠統(tǒng)一所有科學(xué)，必須要用數(shù)學(xué)方法（后來(lái)他將這稱(chēng)為“普遍數(shù)學(xué)”，“絕不接受我沒(méi)有確定為真的東西”。這句名言更是詮釋了他對(duì)數(shù)學(xué)確定性的追求。可以說(shuō),在20世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史就是追求數(shù)學(xué)確定性的歷史。
(2)數(shù)學(xué)知識(shí)確定性的權(quán)威定位
歷代的數(shù)學(xué)權(quán)威都認(rèn)為，數(shù)學(xué)是不變的真理；甚至認(rèn)為“自然法則就是數(shù)學(xué)規(guī)則”。柏拉圖認(rèn)為“只有從理想世界是數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)理解現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)在性和可知性,無(wú)疑這個(gè)世界是數(shù)學(xué)化的”。在他看來(lái),只有掌握了數(shù)學(xué)，才能理解這個(gè)世界。因此,在柏拉圖學(xué)園門(mén)口處掛著這樣一個(gè)標(biāo)牌：“不懂幾何學(xué)者免進(jìn)”。他認(rèn)為，只有精通幾何,才能夠?qū)W習(xí)其它學(xué)科。畢達(dá)哥拉斯派甚至提出“萬(wàn)物皆數(shù)”，將音樂(lè)、行星運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為數(shù)的關(guān)系,認(rèn)為數(shù)是萬(wàn)物的代表,萬(wàn)物都可歸結(jié)到數(shù)中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)認(rèn)為“如果一個(gè)有理性的人在任何時(shí)刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切資料，那么他就能用一個(gè)方程式表達(dá)宇宙中最龐大的物體和最輕微的原子的運(yùn)動(dòng)”，表明在他看來(lái)方程式可以表達(dá)并解釋宇宙間所有運(yùn)動(dòng)，這句話也被當(dāng)作追求確定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。蘭德?tīng)枺≧andall,J.H.)在《現(xiàn)代思想的形成》中指出“科學(xué)起源于用數(shù)學(xué)解釋自然界這種信念,而且在很久以前這個(gè)信念就為經(jīng)驗(yàn)證實(shí)了”，從中可以看出數(shù)學(xué)是近代科學(xué)形成的前提。由此可知,從古希臘起,確定性數(shù)學(xué)知識(shí)在所有知識(shí)中占據(jù)權(quán)威的地位。
(3)數(shù)學(xué)知識(shí)確定性的價(jià)值澄明
數(shù)學(xué)知識(shí)確定性的表征還表現(xiàn)為，將確定性的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到其它學(xué)科中去,取得了巨大成就。
首先,對(duì)確定性數(shù)學(xué)知識(shí)的追求促進(jìn)天文學(xué)、物理學(xué)等自然學(xué)科的發(fā)展。如高斯（Gauss,K.F.)在24歲時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)觀察小行星谷神星，并預(yù)言了這顆行星的軌跡。伽利略（Galileo,G.)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)描述和解釋自由落體規(guī)律,促進(jìn)物理力學(xué)的發(fā)展。牛頓（Newton,I.)受伽利略影響,將數(shù)學(xué)作為描述自然定理的一個(gè)工具,如在解釋萬(wàn)有引力時(shí),摒棄物理原理而只用數(shù)學(xué)原理。在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書(shū)中，對(duì)天文學(xué)、物理學(xué)和數(shù)學(xué)等學(xué)科知識(shí)的證明或求解,也都采取完全數(shù)學(xué)化的過(guò)程，以大量的數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，用微積分和幾何學(xué)知識(shí)來(lái)解釋說(shuō)明物體運(yùn)動(dòng)和宇宙體系,促進(jìn)了物理學(xué)、天文學(xué)學(xué)科的發(fā)展。
其次,對(duì)確定性數(shù)學(xué)知識(shí)的追求也促進(jìn)了音樂(lè)、哲學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等人文學(xué)科和社會(huì)學(xué)科的發(fā)展。公元前600年,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用數(shù)學(xué)方法研究琴弦震動(dòng)，建立了關(guān)于音樂(lè)的理論�？档拢↘ant,I.)認(rèn)為數(shù)學(xué)是先天的理性真理，對(duì)數(shù)學(xué)真理的追求促進(jìn)其哲學(xué)思想體系的形成‘康德的問(wèn)題是揭示數(shù)學(xué)如何能先天被知道,而又能以無(wú)可更改的確定性地應(yīng)用于所有經(jīng)驗(yàn)”統(tǒng)計(jì)學(xué)中定量研究要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行精確的計(jì)算和分析。建筑設(shè)計(jì)要求有精確的數(shù)字比例以達(dá)到完美的效果。
(二）確定性數(shù)學(xué)知識(shí)的局限
作為自然科學(xué)的基礎(chǔ),數(shù)學(xué)知識(shí)確實(shí)具有客觀性、準(zhǔn)確性和普遍性。追求確定性數(shù)學(xué)知識(shí)本身沒(méi)有什么錯(cuò),錯(cuò)在“唯確定性”，即人們過(guò)于強(qiáng)調(diào)其確定性,排除了其它的可能性。在教學(xué)中，如果過(guò)于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性,就會(huì)嚴(yán)重限制教師的教和學(xué)生的學(xué)，不利于學(xué)生全面自由的發(fā)展。
1.限制了教師教學(xué)的主體性
眾所周知,教師是教學(xué)過(guò)程的重要主體之一。他之所以成為主體,并不僅僅是說(shuō)他決定著教學(xué)進(jìn)度、教學(xué)方法、教學(xué)評(píng)價(jià)等,而且還指他是知識(shí)的主體。即是說(shuō)，當(dāng)教師可以在課堂上用自己的方式講述自己的知識(shí)時(shí),他才是一個(gè)真正的主體。過(guò)度重視確定性數(shù)學(xué)知識(shí),容易使教師形成這樣一種教學(xué)觀:數(shù)學(xué)教學(xué)向?qū)W生演繹、解釋數(shù)學(xué)真理。對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)而言，教師沒(méi)有權(quán)力和能力去改變，甚至不能有一點(diǎn)不同于書(shū)本的理解。在這樣的教學(xué)中，教師雖然講述著數(shù)學(xué)知識(shí)，但卻是以他人規(guī)定好的方式講述他人的知識(shí)。他不但沒(méi)有成為知識(shí)的主體,反而被知識(shí)奴役。這種教學(xué)對(duì)教師來(lái)說(shuō)是痛苦的，因?yàn)樗荒茏灾?沒(méi)有激情和創(chuàng)造性,并由此陷入一種惡性循環(huán)：“學(xué)術(shù)生涯使他感到痛苦,他要把同樣的痛苦加諸于學(xué)生一這是對(duì)自我本身深感困擾的痛苦”。這樣,教師無(wú)法在教學(xué)中進(jìn)行反思和建立自我感,最終使自己與教學(xué)分離。
2.窄化了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容
由于數(shù)學(xué)本身被認(rèn)為是確定性知識(shí)的典范，同時(shí)加上人們通常認(rèn)為基礎(chǔ)教育的主要任務(wù)是向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識(shí)（基礎(chǔ)知識(shí)一般是指具有確定結(jié)論的知識(shí)），于是確定性的數(shù)學(xué)知識(shí)幾乎成了數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一內(nèi)容,或者說(shuō)不確定的數(shù)學(xué)知識(shí)僅僅是教學(xué)內(nèi)容的點(diǎn)綴。
過(guò)度強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性，限定了數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。一是將數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容限定為那些確定性的內(nèi)容,不確定性的數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)有資格成為數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容,或者說(shuō)所占比重非常小。二是教師在講授確定性的內(nèi)容時(shí),不敢加以引申，僅僅局限于那個(gè)內(nèi)容。不僅數(shù)學(xué)內(nèi)容的范圍被限制了，內(nèi)容的深度也被限制了。在講授數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí),教師認(rèn)為數(shù)學(xué)答案就是唯一的，因此很少在課堂上與學(xué)生深度探討數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),就像是庫(kù)存的展品，學(xué)生站在展品面前欣賞,但卻無(wú)法觸摸其真正的內(nèi)涵，無(wú)法看到知識(shí)的多元意義。其實(shí)，對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)，“知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義是多元的、多樣的、意義的，實(shí)現(xiàn)方式也是無(wú)限的”。
3.不利于學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)
“創(chuàng)造力是一種產(chǎn)生新穎事物的能力，是一種解決問(wèn)題的.能力，是一種破除傳統(tǒng)的能力�！迸囵B(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)。新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng),要引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維”。M確定性數(shù)學(xué)知識(shí)觀,不僅無(wú)益于,反而會(huì)阻礙學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。
由于將數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)作是客觀的、永恒的，因此人們不僅不敢質(zhì)疑它，而且認(rèn)為沒(méi)有必要質(zhì)疑它。然而“知識(shí)原本是他人對(duì)世界的一種看法，把知識(shí)當(dāng)作絕對(duì)真理意味著承認(rèn)他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性�！�13教學(xué)過(guò)程中，過(guò)于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性,會(huì)導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)地“接受”數(shù)學(xué)公式、定理與答案。因此方面學(xué)生不能形成數(shù)學(xué)批判思維能力；另一方面，學(xué)生思想被禁錮，不敢大膽想象,而批判與想象是創(chuàng)造的前提。正如杜威（Dew-ery,J.)所說(shuō)“教育最大的錯(cuò)誤在于認(rèn)為一個(gè)人只學(xué)習(xí)他當(dāng)時(shí)所學(xué)的特定事物”。
二、數(shù)學(xué)知識(shí)的不確定性及其價(jià)值
數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性在19世紀(jì)出現(xiàn)了斷裂，因?yàn)樵谶@個(gè)世紀(jì),人們發(fā)現(xiàn)數(shù)系、幾何等知識(shí)都具有不確定性。數(shù)學(xué)知識(shí)不確定性的發(fā)現(xiàn),對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)教育都具有重要意義。
(一)數(shù)學(xué)知識(shí)不確定性的涵義
數(shù)學(xué)知識(shí)的不確定性是指數(shù)學(xué)知識(shí)具有開(kāi)放性和模糊性等特征。數(shù)學(xué)知識(shí)的開(kāi)放性是指,數(shù)學(xué)知識(shí)并不是靜止不變的，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化發(fā)展過(guò)程；它有可能被推翻。數(shù)學(xué)知識(shí)的模糊性是指數(shù)學(xué)結(jié)論本身具有不精確性,如概率論、模糊數(shù)學(xué)和灰色數(shù)學(xué)等,都具有模糊性。
數(shù)學(xué)發(fā)展到19世紀(jì),就陷入自相矛盾的境地。數(shù)學(xué)知識(shí)不再是非此即彼的，而是亦此亦彼的。數(shù)學(xué)的發(fā)展也超越了其固有的邏輯路線，這從數(shù)系、函數(shù)和幾何等板塊的發(fā)展過(guò)程中可以看出。
在數(shù)系中，無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)的出現(xiàn),表明數(shù)具有不確定性。以前，整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)是確定的數(shù)。畢達(dá)哥拉斯派認(rèn)為線段的長(zhǎng)度與它所對(duì)應(yīng)的原子數(shù)目之間的比例是一一對(duì)應(yīng)的，因此直角三角形的三邊之比都應(yīng)是整數(shù)比，_些例子也證明它的“正確性”，如3:4：5、：12:13、：15：17等直角三角形。然而后來(lái)畢達(dá)哥拉
斯學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩直角邊均為1時(shí),斜邊為槡,這樣斜邊既不是整數(shù),也不是分?jǐn)?shù)，在線段中無(wú)法找到一個(gè)具體的點(diǎn),歷史上將槡稱(chēng)作不可公度比。后來(lái)人們就將類(lèi)似于在的數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)。
傳統(tǒng)意義上，人們將函數(shù)定義為：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)y是x的函數(shù),x叫做自變量。然而正切函數(shù)的出現(xiàn),表明當(dāng)x為90°時(shí),y無(wú)限接近但永遠(yuǎn)不會(huì)等于一個(gè)值,y成為一個(gè)不確定的值。
幾何學(xué)中，歐氏幾何一直被當(dāng)作是唯一正確的幾何學(xué)，定理和公設(shè)是確定不移的真理,然而許多數(shù)學(xué)家卻發(fā)現(xiàn)它并不是確定無(wú)疑的。例如在歐氏幾何中三角形內(nèi)角和等于180°,鮑耶（Bolyai,J.)和羅巴切夫斯基（Lobachevsky,N.I.)卻證明三角形內(nèi)角和小于180°,即雙曲幾何。同時(shí)黎曼（Giemann,G.B.)也得出結(jié)論:三角形內(nèi)角和大于180°,即黎曼幾何。雙曲幾何和黎曼幾何（兩者統(tǒng)稱(chēng)為非歐幾何）的出現(xiàn),表明三角形內(nèi)角和等于180°并不是確定無(wú)疑的真理。
(二)數(shù)學(xué)知識(shí)不確定性的價(jià)值
1.為數(shù)學(xué)學(xué)科的繁榮提供了可能
正是由于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的不確定性,促使數(shù)學(xué)不斷發(fā)展。如歐氏幾何第五公設(shè)（即平行公設(shè)）：同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于二直角的和，則這二直線無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)相交。1826年，羅巴切夫斯基提出一條與之相反的公理:過(guò)平面上一已知直線外的一點(diǎn)至少可以引出兩條直線與該已知直線不相交。1854年，黎曼有得出一個(gè)相反的命題:過(guò)直線外一點(diǎn)不能引出與該直線不相交的直線。因此,正是由于第五公設(shè)陳述上的模糊性促進(jìn)非歐幾何的出現(xiàn)。
再如18世紀(jì)以后,人們發(fā)現(xiàn)微積分也存在著邏輯上的局限性，如數(shù)學(xué)家也無(wú)法明確給極限和無(wú)窮小下定義。然而正是由于這一局限促使歐拉（Euler,L.)提出了不定積分和定積分的概念,柯西（Cauchy,A.L.)給出了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分和積分等一系列微積分基本概念的嚴(yán)格定義。
2.為教師教學(xué)創(chuàng)造提供了空間
不確定數(shù)學(xué)知識(shí)觀,使教師認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)具有相對(duì)性、條件性、主觀性。教師在教學(xué)過(guò)程中，可以談自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解與認(rèn)識(shí),也可以結(jié)合自己或?qū)W生的經(jīng)驗(yàn)來(lái)講解數(shù)學(xué)知識(shí)。這樣,教師就不再僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的忠實(shí)實(shí)施者,而是數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造者,就容易實(shí)現(xiàn)自己、學(xué)生和數(shù)學(xué)知識(shí)真正相遇。數(shù)學(xué)課堂就變成一個(gè)開(kāi)放的學(xué)習(xí)空間，每個(gè)人可以對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)表自己的見(jiàn)解,師生可以圍繞著某個(gè)不確定的、有待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題,共同探討數(shù)學(xué)真理,形成教師、學(xué)生和知識(shí)融于一體的學(xué)習(xí)共同體。數(shù)學(xué)教學(xué)也不再僅僅是教師將數(shù)學(xué)真理以“展品”的形式展現(xiàn)在學(xué)生的面前、控制課堂的過(guò)程，而是教師將數(shù)學(xué)知識(shí)融入自身價(jià)值觀中，促使教學(xué)與自身融為一體,這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才有可能是好的教學(xué)。
3.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究欲望
數(shù)學(xué)知識(shí)的不確定性使學(xué)生認(rèn)識(shí)到世界上并不存在永恒的數(shù)學(xué)真理，不要盲信數(shù)學(xué)定理。于是,他們才有可能對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生懷疑,進(jìn)而去探究;才會(huì)破除自己固有的僵硬思維,開(kāi)拓學(xué)生的視野。學(xué)生在質(zhì)疑數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的過(guò)程中，會(huì)獲得一種自信,認(rèn)為知識(shí)是可以被自己改變的。
在陳景潤(rùn)讀中學(xué)的時(shí)候,沈元老師給學(xué)生講了一道困擾人們200多年的數(shù)學(xué)難題一哥德巴赫猜想，他恰當(dāng)?shù)囊鰯?shù)學(xué)界比喻“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)皇后，‘哥德巴赫猜想’則是皇后王冠上的寶石”引起了陳景潤(rùn)的興趣。雖然沈元老師也沒(méi)有解出這道題,但他促使陳景潤(rùn)對(duì)這道題保持著好奇心，_直研究這道題,最終發(fā)表論文《大偶數(shù)表示一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)2個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》,引起世界轟動(dòng)。因此,有時(shí)不確定性的數(shù)學(xué)知識(shí)可以激發(fā)學(xué)生探究欲望,使學(xué)生獲得自信。
三、不確定性數(shù)學(xué)知識(shí)價(jià)值的實(shí)現(xiàn)策略
如上所述,數(shù)學(xué)知識(shí)的不確定性具有重要的教育價(jià)值。那么在實(shí)際教育中如何實(shí)現(xiàn)這些價(jià)值值得我們?nèi)パ芯俊?/p>
(一)突出確定性知識(shí)成立的條件
強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的不確定性,并不是說(shuō)在教學(xué)中不教確定性的數(shù)學(xué)知識(shí),而是說(shuō)要換一種思維去教授確定性知識(shí)。其實(shí)，任何數(shù)學(xué)知識(shí)要正確，都是有條件的。在教學(xué)過(guò)程中，教師要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)確定性成立的前提和條件。某個(gè)知識(shí)正確，只是在某個(gè)特定條件下正確；若超出了這個(gè)條件,其正確性就受到了挑戰(zhàn)。首先,在課堂上教師要告訴學(xué)生數(shù)學(xué)定理的成立是需要條件的。如在初中講數(shù)的平方這一規(guī)律時(shí)定要告訴學(xué)生只有在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一個(gè)數(shù)的平方才是正數(shù)。其次,告訴學(xué)生即使現(xiàn)在這些數(shù)學(xué)知識(shí)是準(zhǔn)確的、唯一的，也不代表它就永恒不變。在教學(xué)中，可以適當(dāng)增加數(shù)學(xué)史的知識(shí),告訴學(xué)生這些知識(shí)后來(lái)引起的爭(zhēng)議,使學(xué)生能夠用動(dòng)態(tài)的眼光看待數(shù)學(xué)知識(shí)。
(二）適當(dāng)增加課程內(nèi)容的不確定性
多爾（Doll,W.E.Jr.)認(rèn)為“課程應(yīng)具有‘適量’的不確定性、異常性、無(wú)效性、模糊性”�！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出課程基本理念“課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性�！盡因此，國(guó)家和地方在制定教材時(shí)，以及教師在教學(xué)時(shí),要適當(dāng)?shù)囟嘣黾右恍┎淮_定性的、有爭(zhēng)議的、能引起學(xué)生認(rèn)知沖突的數(shù)學(xué)知識(shí)^“編制課程大綱或教學(xué)計(jì)劃應(yīng)該采用一種一般的、寬松的、多少帶有一定的不確定的方式”。M如在教學(xué)不同學(xué)段，可適當(dāng)增加不等式、不定方程、負(fù)數(shù)、估算、統(tǒng)計(jì)與概率、無(wú)理數(shù)等不確定數(shù)學(xué)知識(shí)的比例，引導(dǎo)學(xué)生用“亦此亦彼”的思維模式去思考問(wèn)題。國(guó)外的某些做法值得借鑒。如在我國(guó)老
師教授時(shí)（-8)+,老師告訴我們將它看作是-8的開(kāi)立方，因此結(jié)果為-2。而在國(guó)外,老師認(rèn)為這題有3種不同的結(jié)果3“第一種方法與我國(guó)解法是相同的，將（-8)+看作是-8的開(kāi)立方，因而結(jié)果為-2。第二種將^當(dāng)作是I,于是(-8)+=(-8)+=槡(-8)=^=2。第三種觀點(diǎn)認(rèn)為（-8)^是說(shuō)不清的，因?yàn)槊總�(gè)人可以有自己不同的解法”。這樣,學(xué)生在計(jì)算負(fù)數(shù)的指數(shù)時(shí),答案是不確定的。
(三）注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)的開(kāi)放性
開(kāi)放性教學(xué)在教學(xué)中發(fā)揮著重要的作甩“開(kāi)放性教學(xué)是為學(xué)生提供一個(gè)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的環(huán)境和機(jī)會(huì),為教師提供一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生解題能力、自控能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的有效途徑�！�19因此，教師的教學(xué)應(yīng)具有開(kāi)放性。這里的開(kāi)放性,首先是指教師在教授數(shù)學(xué)時(shí),不一定非得將結(jié)論教給學(xué)生;其次,要注重選擇一些沒(méi)有確定答案的數(shù)學(xué)內(nèi)容;再次,要選擇一些條件并不是十分明朗的數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生思考;最后，還可以創(chuàng)造一些只有部分條件的問(wèn)題，讓學(xué)生補(bǔ)充相關(guān)條件,并提出問(wèn)題。如小學(xué)低年級(jí)可以設(shè)計(jì)這樣的題型:羊圈里有8只羊?這樣每個(gè)學(xué)生補(bǔ)充的條件不同，最終得出的結(jié)果也就不一樣。同時(shí),教師可以自己結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)在教學(xué)中的作用，培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維和求異思維能力。如在課堂上讓小學(xué)生設(shè)計(jì)如何測(cè)量土豆的體積,不同學(xué)生有不同測(cè)量方法，一個(gè)學(xué)生也可以有多種方法；讓學(xué)生自己描述回家路線圖，這樣題目就與學(xué)生實(shí)際生活聯(lián)系，且每個(gè)人回家路線的不同,得到的答案必然不同。
(四）注重評(píng)價(jià)方式個(gè)性化
既然數(shù)學(xué)知識(shí)具有不確定性,那么對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)就不能局限于統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。要在評(píng)價(jià)中突出學(xué)生的主體地位,注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的個(gè)別差異性“新評(píng)定走出了甄別的誤區(qū)，評(píng)定尊重學(xué)生的個(gè)別差異和個(gè)性特點(diǎn)，問(wèn)題要求具有相當(dāng)?shù)拈_(kāi)放性,允許學(xué)生依據(jù)自己的興趣和特長(zhǎng)作出不同形式和內(nèi)容的解答�！盡只有根據(jù)每個(gè)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行評(píng)價(jià),才能夠發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異性,才能夠因材施教,也才能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)充滿懷疑,才有利于學(xué)生發(fā)散思維的形成與發(fā)展。
《素質(zhì)教育在美國(guó)》一書(shū)中作者講到在一次數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)測(cè)試中，美國(guó)一個(gè)學(xué)生礦礦在考試時(shí),在對(duì)數(shù)這一題上畫(huà)了一只咬原木的河貍,手中拿著一塊木頭（在英語(yǔ)中Log除了表示對(duì)數(shù),還可以表示原木），并寫(xiě)上“Logsarefun!”(木頭真有趣味）。礦礦試卷本身得了100分,老師又給試卷上的畫(huà)“原木和河貍”加了0.2分,這0.2分表明老師對(duì)礦礦數(shù)理邏輯、形象思維和自信心的充分肯定。這位教師把學(xué)生當(dāng)作獨(dú)特的個(gè)體,這種評(píng)價(jià)更具有指導(dǎo)性作用，激勵(lì)學(xué)生“探究”數(shù)學(xué)而不是“學(xué)習(xí)”數(shù)學(xué)。
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