在鏟斗鏟裝過程中對滿斗率的數(shù)學(xué)模型的探討論文

　　1關(guān)于鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型所提出的假設(shè)

　　工程問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)變不可避免地涉及到部分條件的假設(shè)，以保證對物理過程進行定性描述的數(shù)學(xué)方程的精簡性，提出的假設(shè)要求必須對所研究的目標(biāo)物理參數(shù)影響小。提出假設(shè)是為研究問題方便而做的工作準(zhǔn)備，同時能提高求解智能裝載機器人裝載效率最優(yōu)解時的代碼執(zhí)行效率。對本研究所建立的數(shù)學(xué)模型作出以下假設(shè)。(1)物料的濕度較低，物料自身的黏著系數(shù)對滿斗率影響很小。(2)鏟斗鏟入料堆過程中所受的阻力對滿斗率無影響。(3)鏟斗鏟入料堆時為水平鏟入，且物料堆體積足夠大，物料平均塊度不能大于 10 mm。(4)鏟斗在提升過程中可被鏟斗影響的物料能全部落入鏟斗的空斗區(qū)域。

　　2 裝載機鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型

　　2. 1 裝載機裝載過程分析

　　裝載機鏟斗鏟裝物料過程中受力復(fù)雜，但是鏟裝的主要能耗集中在克服鏟斗鏟入阻力以及物料提升2 個階段，其中克服鏟斗鏟入阻力做功主要是將鏟斗前刃鏟入物料中，此時鏟斗內(nèi)的物料為主動填充物料，鏟斗的滿斗率大小和鏟斗鏟入物料的深度有很大的關(guān)系。鏟斗鏟入物料的過程是劇烈能耗的過程，由于裝載機本身功率大小的限制，通常在鏟斗鏟入一定深度后裝載機整車速度會降低為 0，此時裝載機無法繼續(xù)前行鏟挖，因此鏟入深度是一個限制裝載機性能的重要參數(shù)。裝載機鏟斗鏟入深度的大小受鏟挖物料種類的影響，低密度堆積物料的鏟斗鏟入深度要更大，高密度堆積物料的鏟斗鏟入深度更小。鏟斗在完成主動填充物料之后就是鏟斗提升階段，此階段進一步使部分可被鏟斗影響的鏟斗外物料旋轉(zhuǎn)落入鏟斗內(nèi)，對滿斗率起著至關(guān)重要的作用，此時落入的物料填充的區(qū)域為鏟斗作業(yè)時的空斗區(qū)域。

　　2. 2 鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型

　　鏟斗鏟裝物料的多少等于鏟斗在完成水平鏟入物料后已經(jīng)入斗的物料量加上隨后鏟斗上升時影響并落入鏟斗的物料量之和。為建立裝入物料的數(shù)學(xué)模型，需要先以鏟斗側(cè)面的中間面為模型面，建立一個笛卡爾坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點取鏟斗側(cè)面的中間面上鏟斗鏟入物料堆的鏟入點，在鏟入物料的過程中，鏟斗為運動件，物料相對靜止。

　　當(dāng)鏟入深度 d=0 mm 時，鏟斗與物料堆的相對位置。隨著鏟裝作業(yè)的進行，f 1 為鏟斗底面曲線函數(shù)，f 2 為鏟斗斗面函數(shù)，f 3 為料堆中間面的物料堆的外形函數(shù)，鏟裝時鏟斗運動，即 f 1 、f 2 發(fā)生移動。圖 1 鏟裝過程的坐標(biāo)系建立Fig．1 Coordinate system of scoop process當(dāng) d≥0 時，引入?yún)��?shù) S t 、S e :S t 為中心面處鏟斗鏟入后可影響的鏟斗外的物料面積，S e 為中心面處鏟斗水平鏟入物料的空斗面積，根據(jù)定積分的意義，可以將中心面處單獨區(qū)域的面積求解轉(zhuǎn)變成對變限積分求解。在建立 S t 數(shù)學(xué)模型的過程中，將料堆的外形函數(shù)視為靜態(tài)，斗形函數(shù)視為動態(tài)，鏟裝的過程中 S t 便可以等效為變函數(shù)的定積分問題，由此可以得出 S t 的函數(shù)為S t = ∫dc( xtanα+ xtanβ － dtanβ) dx，(1)式中，d 為鏟斗水平鏟入深度，mm;c 為鏟斗斗面與料堆交點的橫軸坐標(biāo)值，mm;α 為料堆自然安息角，(°); β 為鏟斗前角，(°)。為了方便建立鏟斗水平鏟入物料時空斗面積的數(shù)學(xué)模型，需要對動態(tài)函數(shù)進行靜態(tài)處理和對鏟斗單獨取坐標(biāo)系變化，這樣可以將本來復(fù)雜的多函數(shù)移動轉(zhuǎn)變成單函數(shù)移動，這個過程便是將 f 1 和 f 2 視為已確定函數(shù)，f 3 為變函數(shù)，f 3 函數(shù)與縱軸截距的意義為鏟斗鏟入深度 d，

　　圖 2 鏟斗坐標(biāo)系變換Fig．2 Coordinate system transformation of bucket在完成對問題的簡化后便需要對 S e 的變化進行數(shù)學(xué)模型建立。通過圖 2 可知，中心面處鏟斗的空斗面積 S e 的變化為分段函數(shù)，為此也需要在建立數(shù)學(xué)模型時進行分段處理。在已經(jīng)變換好的坐標(biāo)系中，斗形函數(shù) f 1 和鏟斗斗面函數(shù) f 2 轉(zhuǎn)變?yōu)橐汛_定函數(shù)，而f 3 函數(shù)為變函數(shù)，隨著鏟入深度的增加 S e 不斷減小，求解 S e 就變成了在變函數(shù)的條件下對函數(shù)圍成面積的求解。至此，便可以得出S e= S1－ ∫0α 1ytanπ2－ β( )－y － dtan α + β －π2( )??dy，0 ≤ d ＜槡200 3;S e = ∫0α 2r 2－ x槡2+ y1－ xtan α + βπ2( )－ d[ ]dx，d ≥槡200 3;式中，α 1 為料堆外形函數(shù)與鏟斗斗形函數(shù)的交點在 y軸上的數(shù)值，mm;α 2 為料堆外形函數(shù)與鏟斗斗底函數(shù)的交點在 x 軸上的數(shù)值，mm;r 為鏟斗斗形曲率半徑，mm;y 1 為鏟斗斗形曲率圓心所處的位置，mm; S 1為鏟斗側(cè)面面積，mm 2 。通過工程問題數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)變，在鏟裝過程中中心面的表示函數(shù)所圍成面積的變限積分 S t 、S e 就已經(jīng)得出，S t 、S e 是為解決滿斗率問題所建立的初步的數(shù)學(xué)模型，也為接下來求解體積函數(shù)做好了前期準(zhǔn)備。S t 、S e 函數(shù)的成功建立也是體積函數(shù)建立的必要前提，保證了函數(shù)的可解性。關(guān)于變限積分的面積函數(shù)的建立至此已經(jīng)結(jié)束，接下來便是討論如何建立可行有效的體積函數(shù)。在考慮體積函數(shù)的問題時，需要再次轉(zhuǎn)換看待問題的角度，把平面問題實體化。根據(jù)對鏟斗和料堆的實際了解可以知道:如果以中心面為基準(zhǔn)，鏟斗的物料體積函數(shù) V e 便可以直接通過鏟斗面積與斗長的乘積得到，對于鏟斗的空斗面積也是類似的原理。至此體積函數(shù) V e 便已經(jīng)確定，但是體積函數(shù) V t 還未確定。V t的相關(guān)量 S t 是一個較為復(fù)雜的變上下限積分，如果要求解 V t ，就要考慮到料堆的外形。已知的料堆外形可以近似地認(rèn)為是圓錐體，V t 也可以看成是 S t 的旋轉(zhuǎn)體積，所以求解出 V t 函數(shù)的結(jié)果就是已知面積的旋轉(zhuǎn)體積的數(shù)值。通過對體積函數(shù) V e 和 V t 的分析，可以得出 V e 和 V t 的函數(shù)V t =πarcsinl2r 1( )360°(dtanαr 1+ St )2－ (dtanαr 1 )2[ ] ，V e= lSe ，式中，l為鏟斗斗長，mm;r 1 為鏟斗可影響的最高點對應(yīng)的圓錐料堆的頂部圓錐底面圓半徑，mm。已得出的 V e 、V t 體積函數(shù)之比便是對通用鏟裝物理過程的.數(shù)學(xué)描述，得到數(shù)學(xué)模型后還需要就函數(shù)中某一相關(guān)因素對滿斗率的影響進行討論，驗證數(shù)學(xué)模型的正確性。本研究之后便是利用已建立的數(shù)學(xué)模型就鏟入深度與滿斗率之間的關(guān)系進行一次初步求解。

　　3 相關(guān)參數(shù)的選取

　　以廣西柳州工程機械股份有限公司的 Zl50 系列輪式裝載機的鏟斗數(shù)據(jù)為數(shù)學(xué)模型中的鏟斗參數(shù)依據(jù)，從而得出數(shù)學(xué)模型的求解結(jié)果。鏟斗底板尺寸 b x取 690 mm，鏟斗斗長 l 為 2 970 mm，鏟斗側(cè)面斗寬 b w取 1 200 mm，鏟斗前角 β 為 60°，鏟斗斗底曲率半徑取600 mm。料堆為礦石料堆，自然安息角 α 為35° ，鏟斗鏟入料堆的水平面上的料堆面的半徑取 4 000 mm。

　　4 鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型求解

　　取定相關(guān)參數(shù)后，鏟裝數(shù)學(xué)模型中剩余未知量為1 個自變量和 2 個因變量，自變量為鏟入深度 d，因變量為物料體積函數(shù) V e 和 V t 。在建立鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型后，試探性地對鏟斗鏟入深度與滿斗率之間的關(guān)系進行求解，主要是為了驗證鏟裝過程數(shù)學(xué)模型的有效性和對某一具體問題的可解性。因此，對于鏟裝數(shù)學(xué)模型的求解分為數(shù)學(xué)模型中的斗形函數(shù)驗證和鏟斗物料填充率的最優(yōu)解的求解兩大部分。其中斗形函數(shù)的驗證為數(shù)學(xué)模型有效性的驗證，鏟斗物料填充率的最優(yōu)解的求解為驗證數(shù)學(xué)模型的可解性。

　　4. 1 鏟斗數(shù)學(xué)模型的斗形函數(shù)驗證

　　根據(jù)已建立的鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型可知，斗形函數(shù)為變限積分函數(shù)。為驗證建立的數(shù)學(xué)模型的有效性，需要利用 MATLAB 的函數(shù)可視化處理，對比數(shù)學(xué)模型中的變限積分函數(shù)與實際斗形是否基本符合。將相關(guān)參數(shù)輸入鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型中的被積分函數(shù)，得出斗形如圖 3 所示。圖 3 斗形函數(shù)求解結(jié)果Fig．3 Ｒesults of solving bucket shape function

　　5 結(jié) 論

　　本研究所建立的數(shù)學(xué)模型對工程實際有很強的適用性，可以利用該模型求解出各類參數(shù)的鏟斗在工作時的最佳鏟入深度，使得鏟斗的滿斗率達到最大值，提高資源的利用率。也可將鏟斗外形函數(shù)設(shè)為求解目標(biāo)，利用鏟裝過程中滿斗率的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化鏟斗尺寸，如何利用鏟裝過程滿斗率的數(shù)學(xué)模型對鏟斗參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，也是筆者正在探求的一個問題。此外，如果料堆的安息角與重力加速度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系能夠明確，鏟裝過程的數(shù)學(xué)模型可用于討論不同重力下的鏟裝機理。本研究所建立的鏟斗裝載過程的數(shù)學(xué)模型也可用于智能裝載機器人裝載過程的主動求解優(yōu)化，在不同的情況下求解出最優(yōu)的鏟入深度，提高工作效率，降低能耗。

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