離散數(shù)學論文

　　摘要：起初，集合論主要是對分析數(shù)學中的“數(shù)集”或幾何學中的“點集”進行研究。但是隨著科學的發(fā)展，集合論的概念已經(jīng)深入到現(xiàn)代各個方面，成為表達各種嚴謹科學概念必不可少的數(shù)學語言。隨著計算機時代的到來，集合的元素已由傳統(tǒng)的“數(shù)集”和“點集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數(shù)據(jù)類型的集合。

　　關鍵詞：集合論、計算機、應用

　　1、集合論的歷史。

　　集合論是一門研究數(shù)學基礎的學科。集合論是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，是數(shù)學不可或缺的基本描述工具�？梢赃@樣講，現(xiàn)代數(shù)學與離散數(shù)學的“大廈”是建立在集合論的基礎之上的。21世紀數(shù)學中最為深刻的活動，就是關于數(shù)學基礎的探討。這不僅涉及到數(shù)學的本性，也涉及到演繹數(shù)學的正確性。數(shù)學中若干悖論的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學史上的第三次危機，而這種悖論在集合論中尤為突出。

　　集合論是德國著名數(shù)學家康托爾(G.Cantor)于19世紀末創(chuàng)立的。

　　十七世紀數(shù)學中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發(fā)展并結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數(shù)點集，這是集合論研究的開端。

　　經(jīng)歷二十余年后，集合論最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數(shù)學家們的贊同。數(shù)學家們樂觀地認為從算術公理系統(tǒng)出發(fā)，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個數(shù)學的大廈。在1900年第二次國際數(shù)學大會上，著名數(shù)學家龐加萊就曾興高采烈地宣布“??數(shù)學已被算術化了。我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學已經(jīng)達到了絕對的嚴格�！比欢�這種自得的情緒并沒能持續(xù)多久。

　　這一僅涉及集合與屬于兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地。號稱“天衣無縫”、“絕對嚴密”的數(shù)學陷入了自相矛盾之中。從此整個數(shù)學的基礎被動搖了，由此引發(fā)了數(shù)學史上的第三次數(shù)學危機。

　　危機產(chǎn)生后，眾多數(shù)學家投入到解決危機的工作中去。1908年，德國數(shù)學家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認為悖論的出現(xiàn)是由于康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的．策梅羅希望簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質更為顯然。策梅羅的公理化集合論后來演變成ZF或ZFS公理系統(tǒng)。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴格的.公理基礎之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。

　　2、集合論在計算科學中的應用。

　　集合論在計算機科學中的應用集合論包括集合、關系和函數(shù)3部分。1)集合集合不僅可以表示數(shù),而且可以像數(shù)一樣進行運算,還

　　可以用于非數(shù)值信息的表示和處理,如數(shù)據(jù)的增加、刪除、排序以及數(shù)據(jù)間關系的描述,有些很難用傳統(tǒng)的數(shù)值計算來處理的問題,卻可以用集合來處理。因此,集合論在程序語言、數(shù)據(jù)結構、數(shù)據(jù)庫與知識庫、形式語言和人工智能等領域得到了廣泛應用。2)關系關系也廣泛地應用于計算機科學技術中,例如計算機程序的輸入和輸出關系、數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)特性關系和計算機語言的字符關系等,是數(shù)據(jù)結構、情報檢索、數(shù)據(jù)庫、算法分析、計算機理論等計算機領域中的良好數(shù)據(jù)工具。另外,關系中劃分等價類的思想也可用于求網(wǎng)絡的最小生成樹等圖的算法中。3)函數(shù)函數(shù)可以看成是一種特殊的關系,計算機中把輸入、輸出間的關系看成是一種函數(shù)。類似地,在開關理論、自動機原理和可計算性理論等領域中,函數(shù)都有極其廣泛的應用,其中雙射函數(shù)是密碼學中的重要工具。

　　起初，集合論主要是對分析數(shù)學中的“數(shù)集”或幾何學中的“點集”進行研究。但是隨著科學的發(fā)展，集合論的概念已經(jīng)深入到現(xiàn)代各個方面，成為表達各種嚴謹科學概念必不可少的數(shù)學語言。

　　隨著計算機時代的到來，集合的元素已由傳統(tǒng)的“數(shù)集”和“點集”拓展成包含文字、符號、圖形、圖表和聲音等多媒體信息，構成了各種數(shù)據(jù)類型的集合。集合不僅可以用來表示數(shù)及其運算，更可以用來表示和處理非數(shù)值信息。數(shù)據(jù)的增加、刪除、修改、排序以及數(shù)據(jù)間關系的描述等這些很難用傳統(tǒng)的數(shù)值計算操作，可以很方便地用集合運算來處理。從而集合論在編譯原理、開關理論、信息檢索、形式語言、數(shù)據(jù)庫和知識庫、CAD、CAM、CAI及AI等各個領域得到了

　　廣泛的應用，而且還得到了發(fā)展，如扎德(Zadeh)的模糊集理論和保拉克(Pawlak)的粗糙集理論等等。集合論的方法已經(jīng)成為計算科學工作者不可缺少的數(shù)學基礎知識。

　　參考文獻：〔1〕屈婉玲，耿素云，等。離散數(shù)學[M]。北京：高等教育出版社，2008。

　　〔2〕KennethH。Rosen。離散數(shù)學及其應用[M]。北京：機械工業(yè)出版社，2006。

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　　〔4〕龔靜，王青川。數(shù)理邏輯在計算機科學中的應用淺析[J]。青海科技，2004。

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