數(shù)值計算方法的課堂教學(xué)論文
一、引言
數(shù)學(xué)是科學(xué)之母。一門學(xué)科之是否成為科學(xué)，決定于該學(xué)科的問題描述是否能化歸為數(shù)學(xué)。工程技術(shù)屬于應(yīng)用科學(xué)范疇，工程技術(shù)問題通過建立數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)產(chǎn)生直接聯(lián)系。數(shù)學(xué)問題的分析解通常是極難得到的，因此必須歸結(jié)為數(shù)值計算問題。例如：人造飛船的軌道研究、汽車耐撞性問題研究、大型橋梁設(shè)計、天氣預(yù)報等都必須數(shù)值求解。數(shù)值計算方法作為研究數(shù)學(xué)問題的近似求解方法的課程，既有一般類數(shù)學(xué)課程理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有工科類課程的實用性和實驗性特征，是一門理論性和實踐性都很強(qiáng)的學(xué)科。該課程理論涉及面廣、方法應(yīng)用性強(qiáng)、內(nèi)容豐富，再加上隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件層出不窮，數(shù)值計算方法更能與計算機(jī)相結(jié)合，適應(yīng)科學(xué)發(fā)展的需要，現(xiàn)已成為各高校大部分理工科專業(yè)的必修課程。在數(shù)值計算方法的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)了很多問題。本文對其中的部分問題進(jìn)行了分析，并提出了幾點教學(xué)改革建議。
二、教學(xué)過程中存在的問題
以筆者所在的機(jī)械工程專業(yè)為例，起初該課程為學(xué)科選修課，選課學(xué)生少，且其中大部分是為了湊學(xué)分而來的，學(xué)習(xí)興趣不高在所難免。后來學(xué)科培養(yǎng)計劃改變，該課程歸入專業(yè)必修課，選課學(xué)生數(shù)量增加了，但是學(xué)習(xí)熱情還是不高。究其原因，主要有以下幾點：
1.課程對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高。本課程主要解決以下幾大類問題：非線性方程求根、線性代數(shù)方程組求解、矩陣特征值與特征向量的數(shù)值解法、插值與擬合、函數(shù)最佳逼近、數(shù)值微分與積分、常微分方程初值問題的求解等。需要先修的數(shù)學(xué)課程包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等。學(xué)生只有掌握這些課程中的基本內(nèi)容，才能學(xué)好數(shù)值計算方法課程。而這幾門課程均是難度較大的數(shù)學(xué)課程，學(xué)生的掌握程度本來就不好，甚至學(xué)過后已經(jīng)忘記。由于同時要學(xué)習(xí)其他機(jī)械專業(yè)課程，學(xué)生不愿再花大量的時間和精力去學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，特別是本來就對數(shù)學(xué)不感興趣的學(xué)生。所以在課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會陷入“聽不懂，聽不懂就沒興趣，沒興趣就不想聽課，不聽課就不懂”這樣一個死循環(huán)。
2.教學(xué)課時的限制。該課程的內(nèi)容覆蓋很廣，如“插值方法”這一章，就算法而言就有Lagrange插值、Aitken插值、Nevile插值、差分與差商形式Newton插值、Hermite插值、分段低次插值、三次樣條插值、B-樣條插值等。然而，總學(xué)時設(shè)置僅為32學(xué)時。即使不面面俱到，挑選幾種典型的插值方法講解，也需要花費不少時間。因此，教師的課堂時間主要用來講解各問題相關(guān)算法的理論推導(dǎo)和算法設(shè)計，幾乎沒有幫學(xué)生回顧相關(guān)數(shù)學(xué)知識的時間，且在課堂內(nèi)也沒有時間及時將理論運用于具體問題。學(xué)生覺得這是一門純數(shù)學(xué)課，枯燥無味又難懂，沒有學(xué)習(xí)興趣。
3.沒有與計算機(jī)很好結(jié)合。數(shù)值計算方法的一大特點是面向計算機(jī)。一個好的數(shù)值算法要通過程序設(shè)計在計算機(jī)上實現(xiàn)，要求用最簡練的語言、最快的速度、最少的存儲空間來實現(xiàn)某種計算結(jié)果。要達(dá)到上述要求，要求教師和學(xué)生既要掌握數(shù)值計算算法，又要能熟悉并熟練使用計算機(jī)語言。而現(xiàn)在的課堂教學(xué)重點大都側(cè)重在理論講解上，沒有很好地結(jié)合計算機(jī)編程，學(xué)生把這門課當(dāng)成了數(shù)學(xué)課來上；且學(xué)生在課外也沒有將課堂上學(xué)到的算法付諸于計算機(jī)上實現(xiàn)。導(dǎo)致該門課程理論與實踐嚴(yán)重脫節(jié)，達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)效果和教學(xué)目的。
三、如何提高課程的趣味性
綜合上述教學(xué)中出現(xiàn)的問題，要想教好這門課、使學(xué)生學(xué)到知識，最重要的是要提高課程本身的趣味性�！芭d趣是最好的老師”，學(xué)生有了興趣，才會有學(xué)習(xí)的熱情，才會把精力付諸于課程學(xué)習(xí)上。那么關(guān)鍵問題是如何提高該課程的趣味性，主要從下面幾點出發(fā)。
1.結(jié)合專業(yè)特點，從實際出發(fā)，合理安排課時和教學(xué)內(nèi)容。由于課時有限，而且授課對象主要是機(jī)械這樣的工科類專業(yè)的本科生，課程的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生具有機(jī)械工程工作所需的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想方法分析問題、解決問題的意識和能力，并為后續(xù)的工作和學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。那么教師在安排課時要懂得取舍，選擇與機(jī)械專業(yè)緊密相關(guān)的內(nèi)容講解，課程主要濃縮為如下幾個主要內(nèi)容：非線性方程的求解、線性方程組的求解、插值與擬合、數(shù)值微分與積分、常微分方程數(shù)值求解。而每個內(nèi)容應(yīng)該針對其中的經(jīng)典算法進(jìn)行講解。如非線性方程的求解，只需就二分法、簡單迭代法、Newton迭代法進(jìn)行詳細(xì)講解，其他算法如弦割法、簡單Newton法等只需簡單提及即可；常微分方程的數(shù)值解法，只需對Euler法和Runge-Kutta方法詳細(xì)講解，其他內(nèi)容略講即可。例如非線性方程求解中，判斷迭代法收斂的充分條件，復(fù)雜的證明過程可以略去不講。這樣一來，教學(xué)課時和內(nèi)容安排合理，整堂課就不會全在枯燥無味的數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)中度過，即使數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好的學(xué)生也能掌握并運用。而且學(xué)生能運用定理判斷一種迭代法是否收斂，本身也會獲得一定程度的滿足感和自信心，而學(xué)習(xí)興趣也可以在這之上建立起來。
2.對學(xué)生的計算機(jī)編程能力要求。該課程研究的是幾大類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值算法，懂得算法之后，一定要結(jié)合計算機(jī)進(jìn)行編程實現(xiàn)。但本門課程又不是專門的計算機(jī)編程課程，且由于學(xué)時限制，課堂上不可能有多余的時間教授學(xué)生編程知識，因此該課程的先修課程還需要掌握一門計算機(jī)編程語言�，F(xiàn)今的主流商用數(shù)學(xué)軟件主要有如下幾種：Matlab、Mathematica、Maple、MathCAD、C/C++、Fortran等，應(yīng)選用一種熟悉或較易掌握的軟件將各種算法進(jìn)行計算機(jī)實現(xiàn)。另外，也可選用如Mathematica這類商用軟件進(jìn)行編程，該類軟件界面簡潔，語言簡單，且功能也比較強(qiáng)大，自學(xué)便能很容易上手。
3.將數(shù)學(xué)理論與計算機(jī)相結(jié)合。在課堂上利用數(shù)學(xué)軟件，繪制出直觀的可視化圖片，這樣可以把課程中涉及的抽象原理、方法以及復(fù)雜的計算過程直觀地呈現(xiàn)出來，使學(xué)生對相關(guān)算法有更直觀和清楚的認(rèn)識，更容易理解，同時也可加強(qiáng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行編程計算的能力。如對非線性方程求根之前，先要找出有根區(qū)間，這時可以運用數(shù)學(xué)軟件先畫出函數(shù)曲線圖，找出有根區(qū)間的大概位置，然后選擇某一算法編程，觀察根在迭代過程中的收斂性特征；又例如講解最小二乘法擬合曲線時，可以運用數(shù)學(xué)軟件將擬合出來的函數(shù)圖與原函數(shù)表對比，可更加直觀地理解插值和擬合函數(shù)中存在的誤差。
4.課程中穿插實踐環(huán)節(jié)，讓學(xué)生參與到課堂中來。某一算法或某類問題講解完后，應(yīng)舉出一些算例，讓學(xué)生在課堂上分組討論解決的辦法，選擇怎樣的算法合適，怎么編程實現(xiàn)等。對于一些相對較簡單的問題，可以請學(xué)生直接在課堂上編程求解并運行結(jié)果，然后一起討論該結(jié)果的可靠性，或者對編程和運算過程中出現(xiàn)的問題怎么改正等。讓所有的學(xué)生都參與到課堂中來，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且同時能提高學(xué)生當(dāng)場解決問題的能力、語言表達(dá)能力、計算機(jī)編程能力等。
5.課堂教學(xué)生動多樣化。教學(xué)時應(yīng)充分利用多媒體提高教學(xué)效果。如在PPT中增加聲音、圖像、動畫等多種形式，在教學(xué)過程中形成多種感觀刺激，使原來學(xué)生誤解的枯燥、抽象的數(shù)學(xué)課直觀化、形象化、生動化，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而大大地提高學(xué)生汲取知識的效率。另外，還可以將教學(xué)方式多樣化，避免教師“滿堂灌”、“唱獨角戲”的.尷尬局面出現(xiàn)。除教師講解外，還可讓學(xué)生一起參與到課堂中來，如分成小組討論某個算法的優(yōu)缺點，某個具體問題的解法，或采用小組競賽模式，針對某一問題看誰的算法簡潔、效率高、結(jié)果可靠等。
6.選擇學(xué)生感興趣的算例。算例的選擇應(yīng)有特點，或與學(xué)生專業(yè)相關(guān)，或與學(xué)生感興趣的事物相關(guān)，而不應(yīng)該是單純的數(shù)學(xué)習(xí)題，應(yīng)聯(lián)系相關(guān)的背景或出處。如對于車輛專業(yè)的學(xué)生，講述曲線擬合這部分內(nèi)容時，可以計算汽車車身外形曲線輪廓線為例講述曲線擬合的過程，那么可先給出一些典型車型的外形輪廓圖，然后針對某款車型，給出其輪廓線上某些型值點的數(shù)據(jù)表。學(xué)生在看到豐富多彩的汽車圖時，首先會感到眼前一亮，興趣馬上會提高，課堂氣氛也會得到活躍，而曲線擬合的知識也能很容易領(lǐng)會。
四、總結(jié)
要想上好數(shù)值計算方法這門課，增加課程的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵所在。要讓學(xué)生在這門課的學(xué)習(xí)中找到成就感并培養(yǎng)起自信心，覺得這是一門實用的課程，從而自身愿意、樂于學(xué)習(xí)這門課。為了達(dá)到上述目的，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的改革是勢在必行的。教師要根據(jù)不同專業(yè)學(xué)生的特點制定相應(yīng)的教學(xué)計劃，教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生專業(yè)緊密結(jié)合，懂得取舍；同時要不斷充實并提高自己的專業(yè)素質(zhì)，以適應(yīng)課程改革的需要。這無疑對教師提出了很大的挑戰(zhàn)，要求投入更多的精力到這門課程中來。當(dāng)然，增強(qiáng)課程的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣只是數(shù)值計算方法課程教學(xué)改革的一方面，還有待在今后的教學(xué)實踐中不斷補充、健全和改進(jìn)。
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