小學(xué)五年級“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)結(jié)構(gòu)研究論文

　　分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)單位，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。表示這樣的一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。下面是小編為你帶來的 小學(xué)五年級“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)結(jié)構(gòu)研究論文，歡迎閱讀。

　　分?jǐn)?shù)是個復(fù)雜的概念，其獲得過程需要解決許多認(rèn)知上的矛盾，即便在教學(xué)條件下，小學(xué)生掌握它也需要相當(dāng)長的時間。因此，分?jǐn)?shù)相關(guān)知識是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。小學(xué)數(shù)學(xué)教材通常以螺旋遞增模式編排這部分內(nèi)容，在低段開始接觸“平均”分物，中段初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)（包括分子、分母、分?jǐn)?shù)線概念以及分?jǐn)?shù)的讀寫），到了高段則進(jìn)一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)意義，從將一個物體平均分發(fā)展到把一群物體平均分。分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)也因此成為小學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要研究論題。

　　一、對“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)現(xiàn)實(shí)的追問

　　筆者聽過多節(jié)五年級“分?jǐn)?shù)的意義”的課，有常態(tài)課，也有觀摩課，盡管這些課上教師行為、學(xué)生課堂表現(xiàn)有較大差別，但是他們的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)卻大同小異。筆者新近對某小學(xué)五年級數(shù)學(xué)教師的教學(xué)計劃決策和課堂交互決策作質(zhì)性研究，以其中的一節(jié)“分?jǐn)?shù)的意義”為例，該教師的課堂情況可以大致歸納如下：學(xué)生動手操作學(xué)具→用語言（或具體分?jǐn)?shù)）表示結(jié)果。即在課堂上，每個學(xué)生都有一副學(xué)具，有糖果、棋子、圓形紙片和方形紙片等。學(xué)生任意“操作”一個分?jǐn)?shù)，教師再抽查學(xué)生用語言表述自己分物的過程和具體分?jǐn)?shù)，比如“我有八個棋子，把它們平均分成4份，其中的1份占這個整體的四之一，用表示。”

　　類似這樣的教學(xué)過程可以圖示如下：

　　圖1 “分?jǐn)?shù)的意義”現(xiàn)實(shí)教學(xué)過程圖

　　在課前和課后的及時訪談中我們了解到，教師之所以作出這樣的教學(xué)決策主要基于對教材的認(rèn)識和解讀。教材（人教版）提供了四條信息（圖2）：（1）言語“你能舉例說明的含義嗎？”（2）圓紙片、方紙片和線段圖；（3）香蕉和面包，并附“每根是這把香蕉的”“每份是這盤面包的”的示范語言；（4）分?jǐn)?shù)意義和單位“1”含義的描述語言。教師由信息（1）（3）（4）決策課堂活動的主要形式是學(xué)生動手操作并言語表述；由信息（2）和（3）決策學(xué)生的操作活動是“分實(shí)物”。也就是說，教師從上述信息中作出了兩個推理和決策，一是視紙片和面包為起到等同作用的實(shí)物；二是視言語表述為分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的唯一路徑。于是，便產(chǎn)生了圖1所示的教學(xué)過程。

　　基于這種現(xiàn)實(shí)教學(xué)中并不鮮見的現(xiàn)象，通過對教材資源進(jìn)行深度挖掘，并對信息的意義及信息之間的關(guān)系進(jìn)行深度剖析，我們不禁要追問：紙片與面包完全等同嗎？分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)只有“分實(shí)物→言語表述”的單一走向嗎？

　　二、分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中的紙片：由實(shí)物走向模式

　　對問題“紙片與面包是否完全等同”，在了解關(guān)于分?jǐn)?shù)及其意義的一些基本原理后便可明確作答。

　�。ㄒ唬┍磉_(dá)“部分與整體關(guān)系”意義的模式

　　我們知道，分?jǐn)?shù)的重要意義之一就是表示了“部分與整體的關(guān)系”，這個看似簡單的命題，我們的孩子實(shí)際上很難達(dá)成認(rèn)識和理解。除了分?jǐn)?shù)本身比較抽象外，更主要的原因在于教師沒有明確引導(dǎo)學(xué)生建立一些能更形象、更全面說明分?jǐn)?shù)意義的模式。

　　關(guān)于“部分與整體關(guān)系”意義的模式有四個渠道可以建立：范圍、長度、集合和面積。范圍模式對兒童來說是最具體也最容易操作的，整體（單位“1”）是一個范圍，而部分是大小與形狀的疊合。教師們通常采用這個模式進(jìn)行分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的后續(xù)講解，教師們最常用到的范圍模式有圓形和矩形，其實(shí)三角形也是一個不錯的選擇：

　　圖3 “部分與整體關(guān)系”之范圍模式圖例

　　但是，它們各自有些特點(diǎn)需要注意。圓形模式便于兒童發(fā)現(xiàn)整體卻對部分較難理解，矩形模式易于兒童理解部分卻難于理解整體，而三角形模式兩方面都比較困難。

　　集合模式則用一個集合作為整體，如圖4所示：

　　圖4 “部分與整體關(guān)系”之集合模式圖例

　　集合模式對于兒童理解分?jǐn)?shù)有一定困難，因?yàn)樗麄冞B分實(shí)物都會產(chǎn)生一些困難，何況這種抽象的模式。不過，教師可以通過操作實(shí)物滲透集合均分的思想，也可以滲透一個整體中可以包含不同類別的物體的意義，比如教師可以在提供的學(xué)具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教師不準(zhǔn)備這樣做，自己也應(yīng)該很清楚這一點(diǎn)，因?yàn)榻處煂Ψ謹(jǐn)?shù)意義全面、完整的理解對學(xué)生建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義具有重要作用。

　　線段圖屬于長度模式，小學(xué)生比較熟悉，也比較容易理解。面積模式包含了范圍模式所涉及的情況，這個模式適合于較大兒童（四年級及其以上），圖5可以幫助孩子更好地理解這類模式。

　　圖5 “部分與整體關(guān)系”之面積模式圖例

　　由上可知，分?jǐn)?shù)表達(dá)了“部分與整體的關(guān)系”，而范圍、長度、集合和面積則把這種關(guān)系和意義模式化，使孩子們對分?jǐn)?shù)意義的理解更直觀、漸進(jìn)和全面。進(jìn)一步地，如果能夠意識、找到并恰當(dāng)運(yùn)用這些模式，我們的教學(xué)也許會更有效。

　　(二)教材中具有“模式”功能的信息源

　　那么，教材中是哪些信息在提示我們要構(gòu)建并運(yùn)用模式作為學(xué)生認(rèn)識和理解分?jǐn)?shù)意義的橋梁呢?

　　我們回到圖2，結(jié)合上述的分析便不難理解，教材中呈現(xiàn)的線段圖、圓紙片和方紙片，特別是紙片，除了是實(shí)物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。線段圖屬于長度模式，圓紙片和方紙片既屬于范圍模式也屬于面積模式。如此的話，教材中的信息源除了“分實(shí)物”“言語表述”和“符號”外，又多了一個元素，即“模式”。

　　相對于以往對教材中紙片的認(rèn)識，通過今天的討論，紙片便“返璞歸真”，兼具實(shí)物與模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教學(xué)的意蘊(yùn)。通過對“分?jǐn)?shù)的意義”教材的重新解讀，紙片實(shí)現(xiàn)了由實(shí)物走向模式的角色轉(zhuǎn)換，并將因此給“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)帶來新的生機(jī)和活力。

　　三、構(gòu)建“模式主導(dǎo)，雙向多維”的教學(xué)結(jié)構(gòu)

　　(一)模式的核心地位

　　在教材所呈現(xiàn)的四個元素，即實(shí)物、模式、言語和符號中，模式是聯(lián)結(jié)其余三個元素的橋梁。

　　首先，紙片是面包、香蕉等實(shí)物平均分的模式化。模式是實(shí)物操作的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，從實(shí)物走向模式是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維抽象、歸納并建立邏輯關(guān)系結(jié)構(gòu)的`過程，是數(shù)學(xué)化的過程，即模式化的過程就是數(shù)學(xué)化的過程。弗賴登塔爾說“沒有數(shù)學(xué)化就沒有數(shù)學(xué)”，真正的數(shù)學(xué)知識應(yīng)當(dāng)是關(guān)于抽象的數(shù)學(xué)對象的研究，而并非對于真實(shí)事物或現(xiàn)象量性屬性的直接研究。所謂數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，由實(shí)物操作走向模式走出了數(shù)學(xué)味。

　　其次，模式與符號和言語之間分別建立了雙向邏輯關(guān)系，即模式?圮符號、模式?圮言語、符號?圮言語(經(jīng)模式表象)。這樣的關(guān)系可圖示如下：

　　在上述圖形中，模式元處于中心地位。模式由實(shí)物操作數(shù)學(xué)化而來，形成“分?jǐn)?shù)意義”抽象的研究對象，并為分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)提供直觀材料和意義建構(gòu)的載體。例如，平均分香蕉為4份(實(shí)物操作)，將該過程模式化為平均分成4份的長方形紙片，該模式與符號、言語“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整體的四分之一”形成雙向邏輯關(guān)系，而符號與言語之間經(jīng)由長方形紙片模式建立了雙向邏輯關(guān)系。這里提到的雙向邏輯關(guān)系在后面的探討中，將更詳細(xì)地予以解釋。

　　據(jù)此，通過分析教材、提取信息→解讀信息背后的含義→建構(gòu)信息之間的關(guān)系等步驟，紙片的“模式”功能在上述關(guān)系圖中的核心地位凸顯出來，它不僅能使分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)活動的數(shù)學(xué)味更加顯現(xiàn)，也能使該教學(xué)過程顯得立體多元。

　　(二)“模式主導(dǎo)，雙向多維”教學(xué)結(jié)構(gòu)的操作要義

　　如果把上面對模式、符號、言語、實(shí)物之間的關(guān)系的分析和探討相應(yīng)地進(jìn)行教學(xué)過程化，那么，“模式主導(dǎo)，雙向多維”的教學(xué)結(jié)構(gòu)便水到渠成。如圖6：

　　圖6“分?jǐn)?shù)意義”之“模式主導(dǎo)，雙向多維”教學(xué)結(jié)構(gòu)示意圖

　　把這樣的雙向關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)活動，則至少有六種路徑：

　　(1)由模式寫符號；(2)由符號選模式；(3)根據(jù)符號進(jìn)行言語表述(借助模式表象)；(4)由表述寫符號(借助模式表象)；(5)根據(jù)模式進(jìn)行言語表達(dá)分實(shí)物的過程(結(jié)合符號)；(6)言語表達(dá)分實(shí)物過程后再選模式或畫模式。

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　　其中，(1)與(2)，(3)與(4)，(5)與(6)，是三組互逆的學(xué)習(xí)過程，能夠培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，進(jìn)而使傳統(tǒng)教育中所忽視的發(fā)散思維能力得到很好的培養(yǎng)，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的養(yǎng)成。而實(shí)物操作到模式的數(shù)學(xué)化過程則是分?jǐn)?shù)意義學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)。

　　以上解析了分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)過程，對于教師而言，“模式主導(dǎo)，雙向多維”教學(xué)結(jié)構(gòu)的操作要義如下。

　　要義一：(1)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)物操作走向模式的數(shù)學(xué)化過程；(2)給模式寫符號，同時給符號選模式；(3)借助模式表象，給符號進(jìn)行言語表述，同時給表述寫符號；(4)給模式，兒童言語表達(dá)分實(shí)物的過程，同時兒童言語表達(dá)分實(shí)物的過程后再選模式或畫模式。

　　要義二：(1)分實(shí)物后引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)物操作到模式的數(shù)學(xué)化過程，然后寫出分?jǐn)?shù)符號；同時，先給出符號由學(xué)生選模式，然后再表述分實(shí)物的過程；(2)給符號后要求學(xué)生言語表達(dá)(或畫)模式，再依此描述分實(shí)物的過程；同時，言語表述模式后，描述分實(shí)物的過程，再寫出符號。

　　前者將實(shí)物操作到模式的數(shù)學(xué)化過程相對獨(dú)立化，后者則將該過程糅合于各個雙向的邏輯關(guān)系之中。

　　(三)兩種教學(xué)結(jié)構(gòu)的比較

　　圖1和圖6分別基于教學(xué)現(xiàn)實(shí)和理論分析勾勒出兩類小學(xué)五年級“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)結(jié)構(gòu)，即“分?jǐn)?shù)的意義”現(xiàn)實(shí)教學(xué)過程和“模式主導(dǎo)，雙向多維”的教學(xué)過程。前者呈現(xiàn)斷裂性和單向性的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的活動斷裂進(jìn)行(分實(shí)物→言語表述符號或分實(shí)物→言語表述分物過程)，跨越了“實(shí)物到模式”的數(shù)學(xué)化的過程，并構(gòu)建了“實(shí)物到言語”的單向?qū)W習(xí)活動，使整個學(xué)習(xí)活動顯得單一和斷裂，不利于學(xué)生全面、深刻地理解分?jǐn)?shù)的意義，不利于學(xué)生體悟和積累數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，其根本是不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。逆向思維是發(fā)散思維的一種重要形式，發(fā)散思維又是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)。所以歸根結(jié)底是不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

　　后者呈現(xiàn)多維性和雙向性的特點(diǎn)，模式元素是整個結(jié)構(gòu)的核心，各個元素之間的關(guān)系是雙向互動的關(guān)系，從多個維度(實(shí)物→模式?圮符號、實(shí)物→模式?圮言語或?qū)嵨铩�模式、模�?圮符號?圮言語等維度)實(shí)現(xiàn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的全面理解，有利于學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)造性思維的良好發(fā)展，為學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活注入活力。

　　調(diào)研中有教師說，在一次小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)會考中，有一道題目是要求學(xué)生根據(jù)給出的分?jǐn)?shù)在給出的方格圖中用陰影表示出來(即給出符號選擇模式)，絕大多數(shù)學(xué)生沒有做出來。這實(shí)際上就是在教學(xué)中沒有注意到“模式主導(dǎo)，雙向多維”的教學(xué)模式所致。

　　四、“模式主導(dǎo)，雙向多維”教學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)意義

　　我們歸結(jié)分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)結(jié)構(gòu)，并非僅僅追求外在教學(xué)形式的簡單改變，意在深入挖掘其內(nèi)蘊(yùn)的教學(xué)意義，使教學(xué)形式的改變由內(nèi)至外而發(fā)生，而非外力強(qiáng)加的、缺乏靈魂的生硬動作。

　　“模式主導(dǎo)，雙向多維”的分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)，其內(nèi)涵的意義至少有以下兩點(diǎn)。(1)數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)。數(shù)學(xué)的研究對象是從現(xiàn)實(shí)事件中抽象出來的模式，而不是現(xiàn)實(shí)事件本身。從現(xiàn)實(shí)事件抽象出模式的過程，是數(shù)學(xué)化的過程。(2)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是各路徑雙向互動、多路徑融會貫通的有機(jī)整體。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是多路徑交錯的動態(tài)過程，各路徑相對獨(dú)立，又整體關(guān)聯(lián)，相互依存。獨(dú)立的路徑雙向互動，并非單一走向；關(guān)聯(lián)的路徑融會貫通，以一定的模式相互整合，構(gòu)成數(shù)學(xué)知識意義生成的有機(jī)載體。

　　上述教學(xué)意義的提煉，期望有助于教師更有效地教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”，進(jìn)一步地，能把這些教學(xué)意義合理遷移到其他的數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域。