《同底數(shù)冪的除法》導(dǎo)學(xué)案課件板書設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)錄
第七課時(shí)
●課題
§1.5同底數(shù)冪的除法
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1.經(jīng)歷探索同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)冪的意義.
2.了解同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.
3.理解零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.在進(jìn)一步體會(huì)冪的意義的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的推理能力和有條理的表達(dá)能力.
2.提高學(xué)生觀察、歸納、類比、概括等能力.
(三)情感與價(jià)值觀要求
在解決問(wèn)題的過(guò)程中了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).
●教學(xué)重點(diǎn)
同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用.
●教學(xué)難點(diǎn)
零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義.
●教學(xué)方法
探索——引導(dǎo)相結(jié)合
在教師的引導(dǎo)下，組織學(xué)生探索同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)及零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義.
●教具準(zhǔn)備
●教學(xué)過(guò)程
�、�.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課
看課本圖片
圖1－15
一種液體每升含有1012個(gè)有害細(xì)菌，為了試驗(yàn)?zāi)撤N殺菌劑的效果，科學(xué)家們進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死109個(gè)此種細(xì)菌.要將1升液體中的有害細(xì)菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？你是怎樣計(jì)算的？
�。蹘煟葸@是和數(shù)學(xué)有密切聯(lián)系的現(xiàn)實(shí)世界中的一個(gè)問(wèn)題，下面請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)冪的意義和除法的意義，得出這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果.
［生］根據(jù)題意，可得需要這種殺菌劑1012÷109個(gè).
而1012÷109= =
=10×10×10=1000(個(gè))
［生］我是這樣算1012÷109的.
1012÷109=(109×103)÷109
= =103=1000.
�。蹘煟�1012÷109是怎樣的一種運(yùn)算呢？
�。凵�1012×109是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，1012÷109我們就稱它為同底數(shù)冪的除法運(yùn)算.
�。蹘煟莺芎茫⊥ㄟ^(guò)上面的問(wèn)題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪的除法運(yùn)算和現(xiàn)實(shí)世界有密切的聯(lián)系，因此我們有必要了解同底數(shù)冪除法的'運(yùn)算性質(zhì).
�、�.了解同底數(shù)冪除法的運(yùn)算及其應(yīng)用
［師］下面我們就先來(lái)看同底數(shù)冪除法的幾個(gè)特例，并從中歸納出同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì).(出示投影片§1.5 B)
做一做：計(jì)算下列各式，并說(shuō)明理由(m>n).
(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(－3)m÷(－3)n.
�。凵萁猓�(1)108÷105
=(105×103)÷105 ——逆用同底數(shù)冪乘法的性質(zhì)
=103；
�。凵萁猓�(1)108÷105
= = ——冪的意義
=1000=103；
�。凵萁猓�(2)10m÷10n
= ——冪的意義
= =10m－n ——乘方的意義
(3)(－3)m÷(－3)n
= ——冪的意義
= ——約分
=(－3)m－n ——乘方的意義
［師］我們利用冪的意義，得到：
(1)108÷105=103=108－5;
(2)10m÷10n=10m－n(m>n);
(3)(－3)m÷(－3)n=(－3)m－n(m>n).
觀察上面三個(gè)式子，運(yùn)算前后指數(shù)和底數(shù)發(fā)生了怎樣的變化？你能歸納出同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)嗎？
�。凵輳纳厦嫒齻�(gè)式子中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)算前后的底數(shù)沒(méi)有變化，商的指數(shù)是被除數(shù)與除數(shù)指數(shù)的差.
［生］從以上三個(gè)特例，可以歸納出同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：am÷an=am－n(m,n是正整數(shù)且m>n).
［生］小括號(hào)內(nèi)的條件不完整.在同底數(shù)冪除法中有一個(gè)最不能忽略的問(wèn)題：除數(shù)不能為0.不然這個(gè)運(yùn)算性質(zhì)無(wú)意義.所以在同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中規(guī)定這里的a不為0，記作a≠0.在前面的三個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，a可取任意數(shù)或整式，所以沒(méi)有此規(guī)定.
�。蹘煟莺芎�！這位同學(xué)考慮問(wèn)題很全面.所以同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算性質(zhì)為：am÷an=am－n(a≠0,m、n都為正整數(shù)，且m>n)運(yùn)用自己的語(yǔ)言如何描述呢？
［生］同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
�。蹘煟菽苡脙绲囊饬x說(shuō)明這一性質(zhì)是如何得來(lái)的嗎？
�。凵菘梢�.由冪的意義，得
am÷an= = =am－n.(a≠0)
�。劾�1］計(jì)算：
(1)a7÷a4;(2)(－x)6÷(－x)3;
(3)(xy)4÷(xy);(4)b2m+2÷b2;
(5)(m－n)8÷(n－m)3;(6)(－m)4÷(－m)2.
(7)地震的強(qiáng)度通常用里克特震級(jí)表示.描繪地震級(jí)數(shù)字表示地震的強(qiáng)度是10的若干次冪.例如用里克特震級(jí)表示地震是8級(jí)，說(shuō)明地震的強(qiáng)度是107.1992年4月，荷蘭發(fā)生了5級(jí)地震，12天后，加利福尼亞發(fā)生了7級(jí)地震.加利福尼亞的地震強(qiáng)度是荷蘭地震強(qiáng)度的多少倍？
分析：開(kāi)始練習(xí)同底數(shù)冪的除法運(yùn)算時(shí)，不提倡直接套用公式，應(yīng)說(shuō)明每一步的理由，進(jìn)一步體會(huì)乘方的意義和冪的意義.
解：(1)a7÷a4=a7－4=a3;(a≠0)
(2)(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3;(x≠0)
(3)(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3;(xy≠0)
(4)b2m+2÷b2=b(2m+2)－2=b2m;(b≠0)
(5)(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5;(m≠n)
(6)(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2=m2.(m≠0)
(7)根據(jù)題意，得：
106÷104=106－4=102=100
所以加利福尼亞的地震強(qiáng)度是荷蘭的100倍.
評(píng)注：1°am÷an=am－n(a≠0,m、n是正整數(shù)，且m>n)中的a可以代表數(shù)，也可以代表單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等.
2°(5)小題，(m－n)8÷(n－m)3不是同底的，而應(yīng)把它們化成同底，或?qū)?m－n)8化成(n－m)8,或把(n－m)3化成－(m－n)3.
3°(6)小題，易錯(cuò)為(－m)4÷(－m)2=－m2.－m2的底數(shù)是m,而(－m)2的底數(shù)是－m,所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2.
Ⅲ.探索零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義
想一想：
10000=104, 16=24,
1000=10(), 8=2(),
100=10(), 4=2(),
10=10(). 2=2().
猜一猜
1=10(), 1=2(),
0.1=10(), =2(),
0.01=10(), =2(),
0.001=10(). =2()
�。蹘煟菸覀兿葋�(lái)看“想一想”，你能完成嗎？完成后，觀察你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
［生］1000=103， 8=23，
100=102，4=22，
10=101.2=21.
觀察可以發(fā)現(xiàn)，在“想一想”中冪都大于1，冪的值每縮小為原來(lái)的 (或 )，指數(shù)就會(huì)減小1.
［師］你能利用冪的意義證明這個(gè)規(guī)律嗎？
�。凵菰O(shè)n為正整數(shù)，10n>1,當(dāng)它縮小為原來(lái)的 時(shí)，可得10n× = = = =10n－1;又如2n>1,當(dāng)它縮小為原來(lái)的 時(shí)，可得2n× = =2n÷2=2n－1.
［師］保持這個(gè)規(guī)律，完成“猜一猜”.
�。凵菘梢缘玫讲孪�
1=100， 1=20，
=0.1=10－1, =2－1,
=0.01=10－2, =2－2,
=0.001=10－3. =2－3.
［師］很棒！保持上面的規(guī)律，大家可以發(fā)現(xiàn)指數(shù)不是我們學(xué)過(guò)的正整數(shù)，而出現(xiàn)了負(fù)整數(shù)和0.
正整數(shù)冪的意義表示幾個(gè)相同的數(shù)相乘，如an(n為正整數(shù))表示n個(gè)a相乘.如果用此定義解釋負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪顯然無(wú)意義.根據(jù)“猜一猜”，大家歸納一下，如何定義零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪呢？
�。凵萦伞安乱徊隆钡�
100=1，
10－1=0.1= ,
10－2=0.01= = ,
10－3=0.001= = .
20=1
2－1= ,
2－2= = ,
2－3= = .
所以a0=1,
a－p= (p為正整數(shù)).
�。蹘煟輆在這里能取0嗎？
�。凵輆在這里不能取0.我們?cè)诘贸鲞@一結(jié)論時(shí)，保持了一個(gè)規(guī)律，冪的值每縮小為原來(lái)的 ,指數(shù)就會(huì)減少1，因此a≠0.
�。蹘煟葸@一點(diǎn)很重要.0的0次冪，0的負(fù)整數(shù)次冪是無(wú)意義的，就如同除數(shù)為0時(shí)無(wú)意義一樣.因?yàn)槲覀円?guī)定：a0=1(a≠0);a－p= (a≠0,p為正整數(shù))
我們的規(guī)定合理嗎？我們不妨假設(shè)同底數(shù)冪的除法性質(zhì)對(duì)于m≤n仍然成立來(lái)說(shuō)明這一規(guī)定是合理的.
例如由于103÷103=1,借助于同底數(shù)冪的除法可得103÷103=103－3=100,因此可規(guī)定100=1.一般情況則為am÷am=1(a≠0).而am÷am=am－m=a0,所以a0=1(a≠0);
而am÷an= (m<n)==,根據(jù)同底數(shù)冪除法得am÷an=am－n(m<n,m－n為負(fù)數(shù)).令n－m=p,m－n=－p,則am－n=,即a－p=(a≠0,p為正整數(shù)).
因此上述規(guī)定是合理的.
�。劾�3］用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示下列各數(shù)：
(1)10－3;(2)70×8－2;(3)1.6×10－4.
解：(1)10－3= = =0.001;
(2)70×8－2=1× = ;
(3)1.6×10－4=1.6× =1.6×0.0001=0.00016.
�、�.課時(shí)小結(jié)
［師］這一節(jié)課收獲真不小，大家可以談一談.
�。凵菸疫@節(jié)課最大的收獲是知道了指數(shù)還有負(fù)整數(shù)和0指數(shù)，而且還了解了它們的定義：a0=1(a≠0),a－p= (a≠0,p為正整數(shù)).
［生］這節(jié)課還學(xué)習(xí)了同底數(shù)冪的除法：am÷an=am－n(a≠0,m,n為正整數(shù)，m>n),但學(xué)習(xí)了負(fù)整數(shù)和0指數(shù)冪之后，m>n的條件可以不要，因?yàn)閙≤n時(shí)，這個(gè)性質(zhì)也成立.
�。凵菸姨貏e注意了我們這節(jié)課所學(xué)的幾個(gè)性質(zhì)，都有一個(gè)條件a≠0,它是由除數(shù)不為0引出的，我覺(jué)得這個(gè)條件很重要.
［師］同學(xué)們收獲確實(shí)不小，祝賀你們！
�、�.課后作業(yè)
1.課本P21，習(xí)題1.7第1、2、3、4題.
2.總結(jié)冪的四個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，并反思作業(yè)中的錯(cuò)誤.
●板書設(shè)計(jì)
§1.5同底數(shù)冪的除法
1.同底數(shù)冪的除法
歸納：am÷an=am－n(a≠0,m、n都是正整數(shù)且m>n)
說(shuō)明：am÷an= = =am－n.
語(yǔ)言描述：同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
2.零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
a0=1(a≠0)
a－p= (a≠0,p為正整數(shù))
3.例題(由學(xué)生板演)
●備課資料
參考練習(xí)
1.下面計(jì)算中，正確的是( )
A.a2n÷an=a2
B.a2n÷a2=an
C.(xy)5÷xy3=(xy)2
D.x10÷(x4÷x2)=x8.
2.(2×3－12÷2)0等于( )
A.0 B.1 C.12 D.無(wú)意義
3.若x2m+1÷x2=x5,則m的值為 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(a2)4÷a3÷a等于( )
A.a5 B.a4 C.a3 D.a2
5.若32x+1=1,則x= ;若3x= ,則x= .
6.xm+n÷xn=x3,則m= .
7.計(jì)算：［－2－3－8－1×(－1)－2］×(－ )－2×70.
8.計(jì)算：( )－1+( )0－( )－1.
9.已知10m=3,10n=2,求102m－n的值.
10.已知3x=a,3y=b,求32x－y的值.
答案：1.D2.D3.D4.B
5.－ －36.37.－18.－
9. 10.
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