因式分解教案7篇

　　作為一名教師，常常要寫一份優(yōu)秀的教案，教案是備課向課堂教學(xué)轉(zhuǎn)化的關(guān)節(jié)點。來參考自己需要的教案吧！以下是小編收集整理的因式分解教案7篇，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

因式分解教案 篇1

　　15．1．1 整式

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1．單項式、單項式的定義．

　　2．多項式、多項式的次數(shù)．

　　3、理解整式概念．

　　教學(xué)重點

　　單項式及多項式的有關(guān)概念．

　　教學(xué)難點

　　單項式及多項式的有關(guān)概念．

　　教學(xué)過程

　�、瘢�提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

　　在七年級，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母可以表示數(shù)，思考下列問題

　　1．要表示△ABC的周長需要什么條件？要表示它的面積呢？

　　2．小王用七小時行駛了Skm的路程，請問他的平均速度是多少？

　　結(jié)論：

　　1、要表示△ABC的周長，需要知道它的各邊邊長．要表示△ABC的面積需要知道一條邊長和這條邊上的高．如果設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．AB邊上的高為h，那么△ABC的周長可以表示為a+b+c；△ABC的面積可以表示為 ?c?h．

　　2．小王的平均速度是 ．

　　問題：這些式子有什么特征呢？

　�。�1）有數(shù)字、有表示數(shù)字的字母．

　�。�2）數(shù)字與字母、字母與字母之間還有運算符號連接．

　　歸納：用基本的運算符號（運算包括加、減、乘、除、乘方與開方）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式．

　　判斷上面得到的三個式子：a+b+c、 ch、 是不是代數(shù)式？（是）

　　代數(shù)式可以簡明地表示數(shù)量和數(shù)量的關(guān)系．今天我們就來學(xué)習(xí)和代數(shù)式有關(guān)的整式．

　�、颍�明確和鞏固整式有關(guān)概念

　�。ǔ鍪就队埃�

　　結(jié)論：（1）正方形的周長：4x．

　�。�2）汽車走過的路程：vt．

　�。�3）正方體有六個面，每個面都是正方形，這六個正方形全等，所以它的表面積為6a2；正方體的體積為長×寬×高，即a3．

　�。�4）n的相反數(shù)是－n．

　　分析這四個數(shù)的特征．

　　它們符合代數(shù)式的定義．這五個式子都是數(shù)與字母或字母與字母的積，而a+b+c、 ch、 中還有和與商的運算符號．還可以發(fā)現(xiàn)這五個代數(shù)式中字母指數(shù)各不相同，字母的個數(shù)也不盡相同．

　　請同學(xué)們閱讀課本P160～P161單項式有關(guān)概念．

　　根據(jù)這些定義判斷4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、 ch、 這些代數(shù)式中，哪些是單項式？是單項式的，寫出它的系數(shù)和次數(shù)．

　　結(jié)論:4x、vt、6a2、a3、-n、 ch是單項式．它們的系數(shù)分別是4、1、6、1、-1、 ．它們的次數(shù)分別是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次單項式；vt、6a2、 ch都是二次單項式；a3是三次單項式．

　　問題:vt中v和t的指數(shù)都是1，它不是一次單項式嗎？

　　結(jié)論:不是．根據(jù)定義，單項式vt中含有兩個字母，所以它的次數(shù)應(yīng)該是這兩個字母的指數(shù)的和，而不是單個字母的指數(shù)，所以vt是二次單項式而不是一次單項式．

　　生活中不僅僅有單項式，像a+b+c，它不是單項式，和單項式有什么聯(lián)系呢？

　　寫出下列式子（出示投影）

　　結(jié)論:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．

　�。�3）三角尺的面積應(yīng)是直角三角形的面積減去圓的面積，即 ab-3.12r2．

　�。�4）建筑面積等于四個矩形的面積之和．而右邊兩個已知矩形面積分別為3×2、4×3，所以它們的面積和是18．于是得這所住宅的建筑面積是x2+2x+18．

　　我們可以觀察下列代數(shù)式：

　　a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18．發(fā)現(xiàn)它們都是由單項式的和組成的式子．是多個單項式的和，能不能叫多項式？

　　這樣推理合情合理．請看投影，熟悉下列概念．

　　根據(jù)定義，我們不難得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、 ab-3.12r2、x2+2x+18都是多項式．請分別指出它們的項和次數(shù)．

　　a+b+c的項分別是a、b、c．

　　t-5的項分別是t、-5，其中-5是常數(shù)項．

　　3x+5y+2z的項分別是3x、5y、2z．

　　ab-3.12r2的項分別是 ab、-3.12r2．

　　x2+2x+18的項分別是x2、2x、18． 找多項式的次數(shù)應(yīng)抓住兩條，一是找準(zhǔn)每個項的次數(shù)，二是取每個項次數(shù)的最大值．根據(jù)這兩條很容易得到這五個多項式中前三個是一次多項式，后兩個是二次多項式．

　　這節(jié)課，通過探究我們得到單項式和多項式的有關(guān)概念，它們可以反映變化的世界．同時，我們也到符號的魅力所在．我們把單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．

　�、螅�隨堂練習(xí)

　　1．課本P162練習(xí)

　�、簦�課時小結(jié)

　　通過探究，我們了解了整式的概念．理解并掌握單項式、多項式的有關(guān)概念是本節(jié)的重點，特別是它們的次數(shù)．在現(xiàn)實情景中進(jìn)一步理解了用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感．

　�、酰�課后作業(yè)

　　1．課本P165～P166習(xí)題15．1─1、5、8、9題．

　　2．預(yù)習(xí)“整式的加減”．

　　課后作業(yè)：《課堂感悟與探究》

　　15．1．2 整式的加減（1）

　　教學(xué)目的：

　　1、解字母表示數(shù)量關(guān)系的過程，發(fā)展符號感。

　　2、會進(jìn)行整式加減的運算，并能說明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。

　　教學(xué)重點：

　　會進(jìn)行整式加減的運算，并能說明其中的算理。

　　教學(xué)難點：

　　正確地去括號、合并同類項，及符號的正確處理。

　　教學(xué)過程：

　　一、課前練習(xí)：

　　1、填空：整式包括 和

　　2、單項式 的系數(shù)是 、次數(shù)是

　　3、多項式 是 次 項式，其中二次項

　　系數(shù)是 一次項是 ，常數(shù)項是

　　4、下列各式，是同類項的一組是（ ）

　�。ˋ） 與 （B） 與 （C） 與

　　5、去括號后合并同類項：

　　二、探索練習(xí)：

　　1、如果用a 、b分別表示一個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，那么這個兩位數(shù)可以表示為 交換這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字后得到的兩位數(shù)為

　　這兩個兩位數(shù)的和為

　　2、如果用a 、b、c分別表示一個三位數(shù)的百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字，那么這個三位數(shù)可以表示為 交換這個三位數(shù)的百位數(shù)字和個位數(shù)字后得到的三位數(shù)為

　　這兩個三位數(shù)的差為

　　●議一議：在上面的兩個問題中，分別涉及到了整式的什么運算？

　　說說你是如何運算的？

　　▲整式的加減運算實質(zhì)就是

　　運算的結(jié)果是一個多項式或單項式。

　　三、鞏固練習(xí)：

　　1、填空：（1） 與 的差是

　�。�2）、單項式 、 、 、 的和為

　　（3）如圖所示，下面為由棋子所組成的三角形，

　　一個三角形需六個棋子，三個三角形需

　�。� ）個棋子，n個三角形需 個棋子

　　2、計算：

　�。�1）

　�。�2）

　　（3）

　　3、（1）求 與 的和

　　(2)求 與 的差

　　4、先化簡，再求值： 其中

　　四、提高練習(xí)：

　　1、若A是五次多項式，B是三次多項式，則A+B一定是

　　（A）五次整式 （B）八次多項式

　�。–）三次多項式 （D）次數(shù)不能確定

　　2、足球比賽中，如果勝一場記3a分，平一場記a分，負(fù)一場

　　記0分，那么某隊在比賽勝5場，平3場，負(fù)2場，共積多

　　少分？

　　3、一個兩位數(shù)與把它的數(shù)字對調(diào)所成的數(shù)的和，一定能被14

　　整除，請證明這個結(jié)論。

　　4、如果關(guān)于字母x的二次多項式 的值與x的取值無關(guān)，

　　試求m、n的值。

　　五、小結(jié)：整式的加減運算實質(zhì)就是去括號和合并同類項。

　　六、作業(yè)：第8頁習(xí)題1、2、3

　　15．1．2整式的加減（2）

　　教學(xué)目標(biāo)：1.會進(jìn)行整式加減的運算，并能說明其中的算理，發(fā)展有條理的思考及其語言表達(dá)能力。

　　2.通過探索規(guī)律的問題，進(jìn)一步符號表示的意義，發(fā)展符號感，發(fā)展推理能力。

　　教學(xué)重點：整式加減的運算。

　　教學(xué)難點：探索規(guī)律的猜想。

　　教學(xué)方法：嘗試練習(xí)法，討論法，歸納法。

　　教學(xué)用具：投影儀

　　教學(xué)過程：

　　I探索練習(xí)：

　　擺第1個“小屋子”需要5枚棋子，擺第2個需要 枚棋子，擺第3個需要 枚棋子。按照這樣的方式繼續(xù)擺下去。

　�。�1）擺第10個這樣的“小屋子”需要 枚棋子

　　（2）擺第n個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解決這個問題嗎？小組討論。

　　二、例題講解：

　　三、鞏固練習(xí)：

　　1、計算：

　�。�1）（14x3－2x2）＋2（x3－x2） （2）（3a2＋2a－6）－3（a2－1）

　�。�3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2） （4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）

　　2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，計算：（1）B－A （2）A－3B

　　3、列方程解應(yīng)用題：三角形三個內(nèi)角的和等于180°，如果三角形中第一個角等于第二個角的3倍，而第三個角比第二個角大15°，那么

　　（1）第一個角是多少度？

　　（2）其他兩個角各是多少度？

　　四、提高練習(xí)：

　　1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，問C是什么樣的多項式？

　　2、設(shè)A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋

　�。▂＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。

　　3、已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上（0為數(shù)軸原點）的對應(yīng)點如圖：

　　試化簡：│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b＋c│

　　小 結(jié)：要善于在圖形變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能熟練的對整式加減進(jìn)行運算。

　　作 業(yè)：課本P14習(xí)題1.3：1（2）、（3）、（6），2。

因式分解教案 篇2

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、進(jìn)一步鞏固因式分解的概念; 2、鞏固因式分解常用的三種方法

　　3、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解 4、應(yīng)用因式分解來解決一些實際問題

　　5、體驗應(yīng)用知識解決問題的樂趣

　　教學(xué)重點：靈活運用因式分解解決問題

　　教學(xué)難點：靈活運用恰當(dāng)?shù)囊蚴椒纸獾姆椒�，拓展練�?xí)2、3

　　教學(xué)過程：

　　一、創(chuàng)設(shè)情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值

　　利用因式分解往往能將一些復(fù)雜的運算簡單化，那么我們先來回顧一下什么是因式分解和怎樣來因式分解。

　　二、知識回顧

　　1、因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.

　　判斷下列各式哪些是因式分解?(讓學(xué)生先思考，教師提問講解，讓學(xué)生明確因式分解的概念以及與乘法的關(guān)系)

　　(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法

　　(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解

　　(5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解

　　(7).2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解

　　2、.規(guī)律總結(jié)(教師講解): 分解因式與整式乘法是互逆過程.

　　分解因式要注意以下幾點: (1).分解的對象必須是多項式.

　　(2).分解的結(jié)果一定是幾個整式的乘積的形式. (3).要分解到不能分解為止.

　　3、因式分解的方法

　　提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念;公因式的求法

　　公式法: 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

　　4、強(qiáng)化訓(xùn)練

　　試一試把下列各式因式分解:

　　(1).1-x2=(1+x)(1-x) (2).4a2+4a+1=(2a+1)2

　　(3).4x2-8x=4x(x-2) (4).2x2y-6xy2 =2xy(x-3y)

　　三、例題講解

　　例1、分解因式

　　(1)-x3y3+x2y+xy (2)6(x-2)+2x(2-x)

　　(3) (4)y2+y+例2、分解因式

　　1、a3-ab2= 2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)= 3、(a+b) 2+2(a+b)-15=

　　4、-1-2a-a2= 5、x2-6x+9-y2 6、x2-4y2+x+2y=

　　例3、分解因式

　　1、72-2(13x-7) 2 2、8a2b2-2a4b-8b3

　　三、知識應(yīng)用

　　1、(4x2-9y2)÷(2x+3y) 2、(a2b-ab2)÷(b-a)

　　3、解方程：(1)x2=5x (2) (x-2)2=(2x+1)2

　　4、.若x=-3,求20x2-60x的值. 5、1993-199能被200整除嗎?還能被哪些整數(shù)整除?

　　四、拓展應(yīng)用

　　1.計算:7652×17-2352×17 解:7652×17-2352×17=17(7652-2352)=17(765+235)(765-235)

　　2、20042+20xx被20xx整除嗎?

　　3、若n是整數(shù),證明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍數(shù).

　　五、課堂小結(jié)：今天你對因式分解又有哪些新的認(rèn)識?

因式分解教案 篇3

　　教材分析

　　因式分解是代數(shù)式的一種重要恒等變形�！稊�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》雖然降低了因式分解的特殊技巧的要求,也對因式分解常用的四種方法減少為兩種,且公式法的應(yīng)用中,也減少為兩個公式,但絲毫沒有否定因式分解的教育價值及其在代數(shù)運算中的重要作用。本章教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式運算的基礎(chǔ)上提出來的,事實上,它是整式乘法的逆向運用,與整式乘法運算有密切的聯(lián)系。分解因式的變形不僅體現(xiàn)了一種“化歸”的思想,而且也是解決后續(xù)—分式的化簡、解方程等—恒等變形的基礎(chǔ),為數(shù)學(xué)交流提供了有效的途徑。分解因式這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用。本章的教育價值還體現(xiàn)在使學(xué)生接受對立統(tǒng)一的觀點,培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、善于分析、正確預(yù)見、解決問題的能力。

　　學(xué)情分析

　　通過探究平方差公式和運用平方差公式分解因式的活動中，讓學(xué)生發(fā)表自己的觀點，從交流中獲益，讓學(xué)生獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志建立自信心。

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1、在分解因式的過程中體會整式乘法與因式分解之間的聯(lián)系。

　　2、通過公式a -b =(a+b)(a-b)的逆向變形，進(jìn)一步發(fā)展觀察、歸納、類比、等能力，發(fā)展有條理地思考及語言表達(dá)能力。

　　3、能運用提公因式法、公式法進(jìn)行綜合運用。

　　4、通過活動4，能將高偶指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為2次指數(shù)冪，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想。

　　教學(xué)重點和難點

　　重點： 靈活運用平方差公式進(jìn)行分解因式。

　　難點：平方差公式的推導(dǎo)及其運用，兩種因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的綜合運用。

因式分解教案 篇4

　　教學(xué)設(shè)計思想：

　　本小節(jié)依次介紹了平方差公式和完全平方公式，并結(jié)合公式講授如何運用公式進(jìn)行多項式的因式分解。第一課時的內(nèi)容是用平方差公式對多項式進(jìn)行因式分解，首先提出新問題：x2-4與y2-25怎樣進(jìn)行因式分解，讓學(xué)生自主探索，通過整式乘法的平方差公式，逆向得出用公式法分解因式的方法，發(fā)展學(xué)生的逆向思維和推理能力，然后讓學(xué)生獨立去做例題、練習(xí)中的題目，并對結(jié)果通過展示、解釋、相互點評，達(dá)到能較好的運用平方差公式進(jìn)行因式分解的目的。第二課時利用完全平方公式進(jìn)行多項式的因式分解是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在教學(xué)設(shè)計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，從中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。

　　教學(xué)目標(biāo)

　　知識與技能：

　　會用平方差公式對多項式進(jìn)行因式分解;

　　會用完全平方公式對多項式進(jìn)行因式分解;

　　能夠綜合運用提公因式法、平方差公式、完全平方公式對多項式進(jìn)行因式分解;

　　提高全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力。

　　過程與方法：

　　經(jīng)歷用公式法分解因式的探索過程，進(jìn)一步體會這兩個公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深對整式乘法和因式分解這兩個相反變形的認(rèn)識，體會從正逆兩方面認(rèn)識和研究事物的方法。

　　情感態(tài)度價值觀：

　　通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識間有著密切的聯(lián)系。

　　教學(xué)重點和難點

　　重點：①運用平方差公式分解因式;②運用完全平方式分解因式。

　　難點：①靈活運用平方差公式分解因式，正確判斷因式分解的徹底性;②靈活運用完全平方公式分解因式

　　關(guān)鍵：把握住因式分解的基本思路，觀察多項式的特征，靈活地運用換元和劃歸思想。

因式分解教案 篇5

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)：經(jīng)歷探索同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)的過程，能用代數(shù)式和文字正確地表述，并會熟練地進(jìn)行計算。通過由特殊到一般的猜想與說理、驗證，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.

　　學(xué)習(xí)重點：同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用.

　　學(xué)習(xí)過程：

　　一、創(chuàng)設(shè)情境引入新課

　　復(fù)習(xí)乘方an的意義：an表示個相乘，即an=.

　　乘方的結(jié)果叫a叫做，n是

　　問題：一種電子計算機(jī)每秒可進(jìn)行1012次運算，它工作103秒可進(jìn)行多少次運算?

　　列式為，你能利用乘方的意義進(jìn)行計算嗎?

　　二、探究新知：

　　探一探：

　　1根據(jù)乘方的意義填空

　　(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();

　　(2)55×54=_________=5();

　　(3)(-3)3×(-3)2=_________________=(-3)();

　　(4)a6a7=________________=a().

　　(5)5m5n

　　猜一猜：aman=(m、n都是正整數(shù))你能證明你的猜想嗎?

　　說一說：你能用語言敘述同底數(shù)冪的乘法法則嗎?

　　同理可得：amanap=(m、n、p都是正整數(shù))

　　三、范例學(xué)習(xí)：

　　【例1】計算：(1)103×104;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+1(5)xx2+x2x

　　1.填空：⑴10×109=;⑵b2×b5=;⑶x4x=;⑷x3x3=.

　　2.計算：

　　(1)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.

　　【例2】：把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式.

　　(1)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)

　　(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+1

　　四、學(xué)以致用：

　　1.計算：⑴10n10m+1=⑵x7x5=⑶mm7m9=

　�、�-4444=⑸22n22n+1=⑹y5y2y4y=

　　2.判斷題：判斷下列計算是否正確?并說明理由

　�、臿2a3=a6();⑵a2a3=a5();⑶a2+a3=a5();

　�、萢a7=a0+7=a7();⑸a5a5=2a10();⑹25×32=67()。

　　3.計算：

　　(1)xx2+x2x(2)x2xn+1+xn-2x4-xn-1x4

　　(3)-(-a)3(-a)2a5;(4)(a-b)3(b-a)2

　　(5)(x+y)(x+y)(x+y)2+(x+y)2(x+y)2

　　4.解答題：

　　(1)已知xm+nxm-n=x9，求m的值.

　　(2)據(jù)不完全統(tǒng)計，每個人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中約含有3.34×1019個水分子，那么，每個人每年要用去多少個水分子?

因式分解教案 篇6

　　【教學(xué)目標(biāo)】

　　1、了解因式分解的概念和意義;

　　2、認(rèn)識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形，并會運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。

　　【教學(xué)重點、難點】

　　重點是因式分解的概念，難點是理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法。

　　【教學(xué)過程】

　�、�、情境導(dǎo)入

　　看誰算得快：（搶答）

　　(1)若a=101,b=99,則a2-b2=___________；

　　(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=____________；

　　(3)若x=-3,則20x2+60x=____________。

　�、�、探究新知

　　1、請每題答得最快的同學(xué)談思路，得出最佳解題方法。（多媒體出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；

　　(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000；

　　(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。

　　2、觀察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2， 20x2+60x=20x(x+3)，找出它們的特點。(等式的左邊是一個什么式子，右邊又是什么形式？)

　　3、類比小學(xué)學(xué)過的因數(shù)分解概念，得出因式分解概念。（學(xué)生概括，老師補(bǔ)充。）

　　板書課題：§6.1 因式分解

　　因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

　�、纭⑶斑M(jìn)一步

　　1、讓學(xué)生繼續(xù)觀察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2， 20x(x+3)= 20x2+60x,它們是什么運算？與因式分解有何關(guān)系？它們有何聯(lián)系與區(qū)別？

　　2、因式分解與整式乘法的關(guān)系：

　　因式分解

　　結(jié)合：a2-b2 （a+b）（a-b）

　　整式乘法

　　說明：從左到右是因式分解其特點是：由和差形式（多項式）轉(zhuǎn)化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉(zhuǎn)化成和差形式（多項式）。

　　結(jié)論：因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——相反變形。

　�、�、鞏固新知

　　1、 下列代數(shù)式變形中，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？

　　(1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；

　　(3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；

　　(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7)k2++2=（k+）2；(8)18a3bc=3a2b·6ac。

　　2、你能寫出整式相乘（其中至少一個是多項式）的兩個例子，并由此得到相應(yīng)的兩個多項式的因式分解嗎？把結(jié)果與你的同伴交流。

　�、椤�應(yīng)用解釋

　　例 檢驗下列因式分解是否正確：

　　(1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)；(3)x2+3x+2=(x+1)(x+2).

　　分析：檢驗因式分解是否正確，只要看等式右邊幾個整式相乘的積與右邊的多項式是否相等。

　　練習(xí) 計算下列各題，并說明你的算法：(請學(xué)生板演)

　　(1)872+87×13

　　(2)1012-992

　�、�、思維拓展

　　1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),則m= ,n=

　　2．機(jī)動題：（填空）x2-8x+m=(x-4)( ),且m=

　�、搿⒄n堂回顧

　　今天這節(jié)課，你學(xué)到了哪些知識？有哪些收獲與感受？說出來大家分享。

　　㈧、布置作業(yè)

　　作業(yè)本（1） ,一課一練

　　（九）教學(xué)反思：

因式分解教案 篇7

　　第1課時

　　1.使學(xué)生了解因式分解的意義,了解因式分解和整式乘法是整式的兩種相反方向的變形.

　　2.讓學(xué)生會確定多項式中各項的公因式,會用提公因式法進(jìn)行因式分解.

　　自主探索,合作交流.

　　1.通過與因數(shù)分解的類比,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中數(shù)與式的共同點,體驗數(shù)學(xué)的類比思想.

　　2.通過對因式分解的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生“換元”的意識.

　　【重點】 因式分解的概念及提公因式法的應(yīng)用.

　　【難點】 正確找出多項式中各項的公因式.

　　【教師準(zhǔn)備】 多媒體.

　　【學(xué)生準(zhǔn)備】 復(fù)習(xí)有關(guān)乘法分配律的知識.

　　導(dǎo)入一:

　　【問題】 一塊場地由三個長方形組成,這些長方形的長分別為,,,寬都是,求這塊場地的面積.

　　解法1:這塊場地的面積=×+×+×=++==2.

　　解法2:這塊場地的面積=×+×+×=×=×4=2.

　　從上面的解答過程看,解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進(jìn)行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進(jìn)行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是將多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.

　　[設(shè)計意圖] 讓學(xué)生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎(chǔ).

　　導(dǎo)入二:

　　【問題】 計算×15-×9+×2采用什么方法?依據(jù)是什么?

　　解法1:原式=-+==5.

　　解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.

　　解法1是按運算順序:先算乘法,再算加減法進(jìn)行計算的,解法2是先逆用乘法分配律,再進(jìn)行計算的,由此可知解法2要簡單一些.這個事實說明,有時我們需要將多項式化為幾個整式的積的形式,而提公因式法就是把多項式化為幾個整式的積的形式的一種方法.

　　[設(shè)計意圖] 讓學(xué)生通過利用乘法分配律的逆運算這一特殊算法,運用類比思想自然地過渡到提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握打下基礎(chǔ).

　　一、提公因式法分解因式的概念

　　思路一

　　[過渡語] 上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了什么是因式分解,那么怎樣進(jìn)行因式分解呢?我們來看下面的問題.

　　如果一塊場地由三個長方形組成,這三個長方形的長分別為a,b,c,寬都是,那么這塊場地的面積為a+b+c或(a+b+c),可以用等號來連接,即:a+b+c=(a+b+c).

　　大家注意觀察這個等式,等式左邊的每一項有什么特點?各項之間有什么聯(lián)系?等式右邊的項有什么特點?

　　分析:等式左邊的每一項都含有因式,等式右邊是與多項式a+b+c的乘積,從左邊到右邊的過程是因式分解.

　　由于是左邊多項式a+b+c中的各項a,b,c都含有的一個相同因式,因此叫做這個多項式各項的公因式.

　　由上式可知,把多項式a+b+c寫成與多項式a+b+c的乘積的形式,相當(dāng)于把公因式從各項中提出來,作為多項式a+b+c的一個因式,把從多項式a+b+c的各項中提出后形成的多項式a+b+c,作為多項式a+b+c的另一個因式.

　　總結(jié):如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.

　　[設(shè)計意圖] 通過實例的教學(xué),使學(xué)生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.

　　思路二

　　[過渡語] 同學(xué)們,我們來看下面的問題,看看同學(xué)們誰先做出來.

　　多項式 ab+ac中,各項都含有相同的因式嗎?多項式 3x2+x呢?多項式b2+nb-b呢?

　　結(jié)論:多項式中各項都含有的相同因式,叫做這個多項式各項的公因式.

　　多項式2x2+6x3中各項的公因式是什么?你能嘗試將多項式2x2+6x3因式分解嗎?

　　結(jié)論:如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種因式分解的方法叫做提公因式法.

　　[設(shè)計意圖] 從讓學(xué)生找出幾個簡單多項式的公因式,再到讓學(xué)生嘗試將多項式分解因式,使學(xué)生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.

　　二、例題講解

　　[過渡語] 剛剛我們學(xué)習(xí)了因式分解的一種方法,現(xiàn)在我們嘗試下利用這種方法進(jìn)行因式分解吧.

　　(教材例1)把下列各式因式分解:

　　(1)3x+x3;

　　(2)7x3-21x2;

　　(3)8a3b2-12ab3c+ab;

　　(4)-24x3+12x2-28x.

　　〔解析〕 首先要找出各項的公因式,然后再提取出來.要避免提取公因式后,各項中還有公因式,即“沒提徹底”的.現(xiàn)象.

　　解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).

　　(2)7x3-21x2=7x2x-7x23=7x2(x-3).

　　(3)8a3b2-12ab3c+ab

　　=ab8a2b-ab12b2c+ab1

　　=ab(8a2b-12b2c+1).

　　(4)-24x3+12x2-28x

　　=-(24x3-12x2+28x)

　　=-(4x6x2-4x3x+4x7)

　　=-4x(6x2-3x+7).

　　【學(xué)生活動】 通過剛才的練習(xí),大家互相交流,總結(jié)出提取公因式的一般步驟和容易出現(xiàn)的問題.

　　總結(jié):提取公因式的步驟:(1)找公因式;(2)提公因式.

　　容易出現(xiàn)的問題(以本題為例):(1)第(2)題中只提出7x作為公因式;(2)第(3)題中最后一項提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)題提出“-”號時,沒有把后面的因式中的每一項都變號.

　　教師提醒:

　　(1)各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分;

　　(2)因式分解后括號內(nèi)的多項式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同;

　　(3)若多項式的首項為“-”,則先提取“-”號,然后再提取其他公因式;

　　(4)將分解因式后的式子再進(jìn)行整式的乘法運算,其積應(yīng)與原式相等.

　　[設(shè)計意圖] 經(jīng)歷用提公因式法進(jìn)行因式分解的過程,在教師的啟發(fā)與指導(dǎo)下,學(xué)生自己歸納出提公因式的步驟及提取公因式時容易出現(xiàn)的類似問題,為提取公因式積累經(jīng)驗.

　　1.提公因式法分解因式的一般形式,如:

　　a+b+c=(a+b+c).

　　這里的字母a,b,c,可以是一個系數(shù)不為1的、多字母的、冪指數(shù)大于1的單項式.

　　2.提公因式法分解因式的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)多項式的公因式.

　　3.找公因式的一般步驟:

　　(1)若各項系數(shù)是整系數(shù),則取系數(shù)的最大公約數(shù);

　　(2)取各項中相同的字母,字母的指數(shù)取最低的;

　　(3)所有這些因式的乘積即為公因式.

　　1.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )

　　A.-6ab2cB.-ab2

　　C.-6ab2D.-6a3b2c

　　解析:根據(jù)確定多項式各項的公因式的方法,可知公因式為-6ab2.故選C.

　　2.下列用提公因式法分解因式正確的是( )

　　A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)

　　B.3x2-3x+6=3(x2-x+2)

　　C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)

　　D.x2+5x-=(x2+5x)

　　解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),錯誤;B.3x2-3x+6=3(x2-x+2),錯誤;D.x2+5x-=(x2+5x-1),錯誤.故選C.

　　3.下列多項式中應(yīng)提取的公因式為5a2b的是( )

　　A.15a2b-20a2b2

　　B.30a2b3-15ab4-10a3b2

　　C.10a2b-20a2b3+50a4b

　　D.5a2b4-10a3b3+15a4b2

　　解析:B.應(yīng)提取公因式5ab2,錯誤;C.應(yīng)提取公因式10a2b,錯誤;D.應(yīng)提取公因式5a2b2,錯誤.故選A.

　　4.填空.

　　(1)5a3+4a2b-12abc=a( );

　　(2)多項式32p2q3-8pq4的公因式是 ;

　　(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);

　　(4)因式分解:+n= ;

　　(5)-15a2+5a= (3a-1);

　　(6)計算:21×3.14-31×3.14= .

　　答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)(+n) (5)-5a (6)-31.4

　　5.用提公因式法分解因式.

　　(1)8ab2-16a3b3;

　　(2)-15x-5x2;

　　(3)a3b3+a2b2-ab;

　　(4)-3a3-6a2+12a.

　　解:(1)8ab2(1-2a2b).

　　(2)-5x(3+x).

　　(3)ab(a2b2+ab-1).

　　(4)-3a(a2+2a-4).

　　第1課時

　　一、教材作業(yè)

　　【必做題】

　　教材第96頁隨堂練習(xí).

　　【選做題】

　　教材第96頁習(xí)題4.2.

　　二、課后作業(yè)

　　【基礎(chǔ)鞏固】

　　1.把多項式4a2b+10ab2分解因式時,應(yīng)提取的公因式是 .

　　2.(20xx淮安中考)因式分解:x2-3x= .

　　3.分解因式:12x3-18x22+24x3=6x .

　　【能力提升】

　　4.把下列各式因式分解.

　　(1)3x2-6x;

　　(2)5x23-25x32;

　　(3)-43+162-26;

　　(4)15x32+5x2-20x23.

　　【拓展探究】

　　5.分解因式:an+an+2+a2n.

　　6.觀察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….這列式子有什么規(guī)律?請你將猜想到的規(guī)律用含有字母n(n為自然數(shù))的式子表示出來.

　　【答案與解析】

　　1.2ab

　　2.x(x-3)

　　3.(2x2-3x+42)

　　4.解:(1)3x(x-2). (2)5x22(-5x). (3)-2(22-8+13). (4)5x2(3x+1-42).

　　5.解:原式=an1+ana2+anan=an(1+a2+an).

　　6.解:由題中給出的幾個式子可得出規(guī)律:n2+n=n(n+1).

　　本節(jié)運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,使學(xué)生易于理解和掌握.如學(xué)生在接受提公因式法時,由提公因數(shù)到提公因式,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,都是利用了類比的數(shù)學(xué)思想,從而使得學(xué)生接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解.

　　在小組討論之前,應(yīng)該留給學(xué)生充分的獨立思考的時間,不要讓一些思維活躍的學(xué)生的回答代替了其他學(xué)生的思考,掩蓋了其他學(xué)生的疑問.

　　由于因式分解的主要目的是對多項式進(jìn)行恒等變形,它的作用更多的是應(yīng)用于多項式的計算和化簡,比如在以后將要學(xué)習(xí)的分式運算、解分式方程等中都要用到因式分解的知識,因此應(yīng)該注重因式分解的概念和方法的教學(xué).

　　隨堂練習(xí)(教材第96頁)

　　解:(1)(a+b). (2)52(+4). (3)3x(2-3). (4)ab(a-5). (5)22(2-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).

　　習(xí)題4.2(教材第96頁)

　　1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)82n+2n=2n4+2n1=2n(4+1). (3)a2x2-ax2=axax-ax=ax(ax-). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2-12x2-283=-(24x2+12x2+283)=-4(6x2+3x+72). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12x2+8x3=-(2x2+12x2-8x3)=-2x(x+62-43). (8)-3a3+6a2-12a=-(3a3-6a2+12a)=-3a(a2-2a+4).

　　2.解:(1)++=(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-z=z(x-),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.

　　3.解:(1)不正確,因為提取的公因式不對,應(yīng)為n(2n--1). (2)不正確,因為提取公因式-b后,第三項沒有變號,應(yīng)為-b(ab-2a+3). (3)正確. (4)不正確,因為最后的結(jié)果不是乘積的形式,應(yīng)為(a-2)(a+1).

　　提公因式法是本章的第2小節(jié),占兩個課時,這是第一課時,它主要讓學(xué)生經(jīng)歷從乘法分配律的逆運算到提公因式的過程,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的一種主要思想——類比思想.運用類比的思想方法,在新概念的提出、新知識點的講授過程中,可以使學(xué)生易于理解和掌握.如學(xué)生在接受提公因式法時,由整式乘法的逆運算到提公因式法的概念,就利用了類比的數(shù)學(xué)思想,從而使得學(xué)生接受新的概念時顯得輕松自然,容易理解,進(jìn)而使學(xué)生進(jìn)一步理解因式分解與整式乘法運算之間的互逆關(guān)系.

　　已知方程組求7(x-3)2-2(3-x)3的值.

　　〔解析〕 將代數(shù)式分解因式,產(chǎn)生x-3與2x+兩個因式,再根據(jù)方程組整體代入,使計算簡便.

　　解:7(x-3)2-2(3-x)3

　　=(x-3)2[7+2(x-3)]

　　=(x-3)2(7+2x-6)

　　=(x-3)2(2x+).

　　由方程組可得原式=12×6=6.

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