數(shù)學(xué)教案-直線的傾斜角和斜率
作為一名教職工,就難以避免地要準(zhǔn)備教案,編寫(xiě)教案有利于我們準(zhǔn)確把握教材的重點(diǎn)與難點(diǎn),進(jìn)而選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。那么什么樣的教案才是好的呢?以下是小編幫大家整理的數(shù)學(xué)教案-直線的傾斜角和斜率,供大家參考借鑒,希望可以幫助到有需要的朋友。
教學(xué)目標(biāo)
。1)了解直線方程的概念.
。2)正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的,但不是每條直線都存在斜率.
(3)理解公式的推導(dǎo)過(guò)程,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
。4)通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示,培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力,數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
(5)通過(guò)斜率概念的建立和斜率公式的推導(dǎo),幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
教學(xué)建議
1.教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)內(nèi)容首先根據(jù)一次函數(shù)與其圖像——直線的關(guān)系導(dǎo)出直線方程的概念;其次為進(jìn)一步研究直線,建立了直線傾斜角的概念,進(jìn)而建立直線斜率的概念,從而實(shí)現(xiàn)了直線的方向或者說(shuō)直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數(shù)屬性的轉(zhuǎn)變;最后推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.這些充分體現(xiàn)了解析幾何的思想方法.
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
、俦竟(jié)的重點(diǎn)是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線,無(wú)論是建立直線的方程,還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系,以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系,直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此,正確理解斜率概念,熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵.
②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫(huà)直線的方向并不難接受,但是,為什么要定義直線的斜率,為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受.
2.教法建議
。1)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng):傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮:傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程也有三個(gè)階段
、僭诮虒W(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫(huà)直線的方向,如何定義這個(gè)角呢,學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
、诒竟(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫(huà)直線的方向,而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的,而斜率卻不這樣.學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎.再有,為什么要用傾斜角的正切定義斜率,而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問(wèn)題,就要求教師幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到在直線的方程中體現(xiàn)的不是直線的傾斜角,而是傾斜角的正切,即直線方程(一次函數(shù)的形式,下同)中x的系數(shù)恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學(xué)生更好的理解直線斜率的概念,可以借助幾何畫(huà)板設(shè)計(jì):
(1) α變化→直線變化→中的系數(shù)變化(同時(shí)注意的變化).
(2)中的系數(shù)變化→直線變化→α變化(同時(shí)注意的變化).
運(yùn)用上述正反兩種變化的動(dòng)態(tài)演示充分揭示直線方程中系數(shù)與傾斜角正切的內(nèi)在關(guān)系,這對(duì)幫助學(xué)生理解斜率概念是極有好處的.
、墼谶M(jìn)行過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式推導(dǎo)的教學(xué)中要注意與前后知識(shí)的聯(lián)系,課前要對(duì)平面向量,三角函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容作一定的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備.
、茉學(xué)習(xí)直線方程的概念時(shí)要通過(guò)舉例清晰地指出兩個(gè)條件,最好能用充要條件敘述直線方程的概念,強(qiáng)化直線與相應(yīng)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為將來(lái)學(xué)習(xí)曲線方程做好準(zhǔn)備.
。2)本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)引導(dǎo)法和討論法,設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、評(píng)價(jià)的教學(xué)模式.學(xué)生在積極思維的基礎(chǔ)上,進(jìn)行充分的討論、爭(zhēng)辯、交流、和評(píng)價(jià).傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立,這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、評(píng)價(jià)中完成的.在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展.教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引發(fā)爭(zhēng)論,組織交流,參與評(píng)價(jià).
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
直線的傾斜角和斜率
教學(xué)目標(biāo):
。1)了解直線方程的概念,正確理解直線傾斜角和斜率概念,
(2)理解公式的推導(dǎo)過(guò)程,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.
。3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力,數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.
。4)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學(xué)生樹(shù)立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):直線斜率的概念和公式
教學(xué)用具:計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法,討論法
教學(xué)過(guò)程:
。ㄒ唬┲本方程的概念
如圖1,對(duì)于一次函數(shù),和它的圖像——直線有下面關(guān)系:
(1)有序數(shù)對(duì)(0,1)滿足函數(shù),則直線上就有一點(diǎn)A,它的坐標(biāo)是(0,1).
。2)反過(guò)來(lái),直線上點(diǎn)B(1,3),則有序?qū)崝?shù)對(duì)(1,3)就滿足.
一般地,滿足函數(shù)式的每一對(duì),的值,都是直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)(,);
反之,直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(,)都滿足函數(shù)式,因此,一次函數(shù)的圖象是一條直線,它是以滿足的每一對(duì)x,y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.
從方程的角度看,函數(shù)也可以看作是二元一次方程,這樣滿足一次函數(shù)的每一對(duì),的值“變成了”二元一次方程的解,使方程和直線建立了聯(lián)系.
定義:以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn),反過(guò)來(lái),這條直線上的所有點(diǎn)坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,這時(shí),這個(gè)方程就叫做這條直線的方程,這條直線就叫做這個(gè)方程的直線.
以上定義改用集合表述:,的二元一次方程的解為坐標(biāo)的集合,記作.若(1)(2),則.
問(wèn):你能用充要條件敘述嗎?
答:一條直線是一個(gè)方程的直線,或者說(shuō)這個(gè)方程是這條直線的方程的充要條件是…….
。ǘ┲本的傾斜角
【問(wèn)題1】
請(qǐng)畫(huà)出以下三個(gè)方程所表示的直線,并觀察它們的異同.
過(guò)定點(diǎn),方向不同.
如何確定一條直線?
兩點(diǎn)確定一條直線.
還有其他方法嗎?或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn),要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件?
學(xué)生:思考、回憶、回答:這條直線的.方向,或者說(shuō)傾斜程度.
【導(dǎo)入】
今天我們就共同來(lái)研究如何刻畫(huà)直線的方向.
【問(wèn)題2】
在坐標(biāo)系中的一條直線,我們用怎樣的角來(lái)刻畫(huà)直線的方向呢?討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢?它不僅能解決我們的問(wèn)題,同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的.
學(xué)生:展開(kāi)討論.
學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處,教師注意引導(dǎo).
通過(guò)討論認(rèn)為:應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫(huà)直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí),表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角,這里只需一個(gè)角即可(開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角),當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【板書(shū)】
定義:一條直線l向上的方向與軸的正方向所成的最小正角叫做直線的傾斜角.
(教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):(1)直線向上的方向,(2)軸的正方向,(3)最小正角.)
特別地,當(dāng)與軸平行或重合時(shí),規(guī)定傾斜角為0°.
由此定義,角的范圍如何?
0°≤α<180°或0≤α<π如圖3
至此問(wèn)題2已經(jīng)解決了,回顧一下是怎么解決的.
。ㄈ┲本的斜率
【問(wèn)題3】
下面我們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)傾斜角分別是30°、45°、135°的直線,并試著寫(xiě)出它們的直線方程.然后觀察思考:
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現(xiàn)的?
學(xué)生:在練習(xí)本上畫(huà)出直線,寫(xiě)出方程.
30° --à=
45° --à=
135°--à=
。ㄗⅲ簩W(xué)生對(duì)于寫(xiě)出傾斜角是45°、135°的直線方程不會(huì)困難,但對(duì)于傾斜角是30°可能有困難,此時(shí)可啟發(fā)學(xué)生借用三角函數(shù)中的30°角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)解決.)
【演示動(dòng)畫(huà)】
觀察直線變化,傾斜角變化,直線方程中系數(shù)變化的關(guān)系
(1)直線變化→α變化→中的系數(shù)變化(同時(shí)注意α的變化).
(2)中的x系數(shù)k變化→直線變化→α變化(同時(shí)注意α的變化).
教師引導(dǎo)學(xué)生觀察,歸納,猜想出傾斜角與的系數(shù)的關(guān)系:傾斜角不同,方程中的系數(shù)不同,而且這個(gè)系數(shù)正是傾斜角的正切!
【板書(shū)】
定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作,即.
這樣我們定義了一個(gè)從“形”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于軸(正方向)傾斜程度的量——傾斜角,現(xiàn)在我們又定義一個(gè)從“數(shù)”的方面刻畫(huà)直線相對(duì)于軸(正方向)傾斜程度的量——斜率.
指出下列直線的傾斜角和斜率:
(2)=tg60° (3)=tg(-30°)
學(xué)生思考后回答,師生一起訂正:(1)120°;(2)60°;(3)150°(為什么不是-30°呢?)
畫(huà)圖,指出傾斜角和斜率.
結(jié)合圖3(也可以演示動(dòng)畫(huà)),觀察傾斜角變化時(shí),斜率的變化情況.
注意:當(dāng)傾斜角為90°時(shí),斜率不存在.
α=0° --à=0
0°<α<90° --à>0
α=90° --à不存在
90°<α<180°--à<0
。ㄋ模┲本過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)
【問(wèn)題4】
如果給定直線的傾斜角,我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義=tgα求出直線的斜率;
如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo),直線是確定的,傾斜角也是確定的,斜率就是確定的,那么又怎么求出直線的斜率呢?
即已知兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2),求直線P1P2的斜率.
思路分析:
首先由學(xué)生提出思路,教師啟發(fā)、引導(dǎo):
運(yùn)用正切定義,解決問(wèn)題.
(1)正切函數(shù)定義是什么?(終邊上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo).)
(2)角α是“標(biāo)準(zhǔn)位置”嗎?(不是.)
(3)如何把角α放在“標(biāo)準(zhǔn)位置”?(平移向量,使P1與原點(diǎn)重合,得到新向量.)
(4)P的坐標(biāo)是多少?(x2-x1,y2-y1)
(5)直線的斜率是多少?=tgα=(x1≠x2)
(6)如果P1和P2的順序不同,結(jié)果還一樣嗎?(一樣).
評(píng)價(jià):注意公式中x1≠x2,即直線P1 P2不垂直x軸.因此當(dāng)直線P1P2不垂直x軸時(shí),由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率,而不需要求出傾斜角.
【練習(xí)】
(1)直線的傾斜角為α,則直線的斜率為α?
(2)任意直線有傾斜角,則任意直線都有斜率?
(3)直線(-330°)的傾斜角和斜率分別是多少?
(4)求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0,0)、 (-1,)直線的傾斜角和斜率.
(5)課本第37頁(yè)練習(xí)第2、4題.
教師巡視,觀察學(xué)生情況,個(gè)別輔導(dǎo),訂正答案(答案略).
【總結(jié)】
教師引導(dǎo):首先回顧前邊提出的問(wèn)題是否都已解決.再看下邊的問(wèn)題:
(1)直線傾斜角的概念要注意什么?
(2)直線的傾斜角與斜率是一一對(duì)應(yīng)嗎?
(3)已知兩點(diǎn)坐標(biāo),如何求直線的斜率?斜率公式中腳標(biāo)1和2有順序嗎?
學(xué)生邊討論邊總結(jié):
(1)向上的方向,正方向,最小,正角.(2)不是,當(dāng)α=90°時(shí),α不存在.
【作業(yè)】
1.課本第37頁(yè)習(xí)題7.1第3、4、5題.
2.思考題
。1)方程是單位圓的方程嗎?
(2)你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn),傾斜角是45°的直線方程嗎?
(3)你能說(shuō)出過(guò)原點(diǎn),斜率是2的直線方程嗎?
(4)你能說(shuō)出過(guò)(1,1)點(diǎn),斜率是2的直線方程嗎?
板書(shū)設(shè)計(jì)
7.1直線的傾斜角和斜率
一、直線方程
二、直線的傾斜角
三、直線的斜率
四、斜率公式
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)
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