數(shù)學(xué)立方根教案
立方根
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)
1.了解立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根.
2.能用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，了解開立方與立方互為逆運(yùn)算.
3.了解立方根的性質(zhì).
4.區(qū)分立方根與平方根的不同.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.在學(xué)了平方根的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生能用類比的方法學(xué)習(xí)立方根的有關(guān)知識(shí)，領(lǐng)會(huì)類比思想.
2.發(fā)展學(xué)生的求同求異思維，使他們能在復(fù)雜環(huán)境中明辨是非.
(三)情感與價(jià)值觀要求
當(dāng)今社會(huì)是科學(xué)飛速發(fā)展、信息千變?nèi)f化的時(shí)代，每一個(gè)人都不可能把一生中要接觸的知識(shí)全部學(xué)會(huì)，因此讓他們會(huì)學(xué)知識(shí)比學(xué)會(huì)知識(shí)更重要，這就要從小培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，能自己解決的問題就自己解決，其中類比的學(xué)習(xí)方法就是一種重要的學(xué)習(xí)方法，本節(jié)課重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生的類比思想的養(yǎng)成.
●教學(xué)重點(diǎn)
立方根的概念.
●教學(xué)難點(diǎn)
1.正確理解立方根的概念.
2.會(huì)求一個(gè)數(shù)的立方根.
3.區(qū)分立方根與平方根的不同之處.
●教學(xué)方法
類比學(xué)習(xí)法.
●教具準(zhǔn)備
投影片兩張：
第一張：平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別(記作2.3 A);
第二張：補(bǔ)充練習(xí)(記作2.3 B).
●教學(xué)過程
�、�.新課導(dǎo)入
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平方根的定義，若x2=a，則x叫a的平方根，即x= .
若正方體的棱長(zhǎng)為a，體積為8，根據(jù)正方體體積的公式得a3=8，那a叫8的什么呢?本節(jié)課請(qǐng)大家根據(jù)上節(jié)課的內(nèi)容自己來類推出結(jié)論，若x3=a，則x叫a的什么呢?
�、�.新課講解
1.[師]請(qǐng)大家先回憶平方根的定義.
[生]若一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根.
[師]在平方根定義的基礎(chǔ)上，若x3=a，則x叫a的什么呢?請(qǐng)大家自己猜想然后討論得出結(jié)果.
[生]因?yàn)閤2=a，x叫a的平方根，所以當(dāng)x的立方等于a時(shí)，x叫a的立方根.
[師]當(dāng)x4=a時(shí)，x叫a的什么根呢?
[生]當(dāng)x的4次方等于a時(shí)，x叫a的4次方根.
[師]大家應(yīng)為這位同學(xué)的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根據(jù)平方根的寫法來類推立方根的記法呢?
[生]能.若x的平方等于a，則x叫a的平方根，記作x= ，讀作x等于正、負(fù)二次根號(hào)a，簡(jiǎn)稱為x等于正，負(fù)根號(hào)a.若x的立方等于a，則x叫a的立方根，記作x= ，讀作x等于正、負(fù)三次根號(hào)a，簡(jiǎn)稱x等于正、負(fù)根號(hào)a.
[師]請(qǐng)大家對(duì)這位同學(xué)的回答展開討論，小組總結(jié)后選代表發(fā)言.
[生甲]我認(rèn)為這位同學(xué)回答得不對(duì).如果x2=a，則x= ，x3=a時(shí)，x= 也成立的話，那如何區(qū)分平方根與立方根呢?
[生乙]因?yàn)槌朔脚c開方是互為逆運(yùn)算，求立方根可通過逆運(yùn)算立方來求，如x3=8，因?yàn)?3=8，所以x=2，只有一個(gè)根而不是2，所以立方根的個(gè)數(shù)不正確.
[師]大家的分析非常有道理，請(qǐng)認(rèn)真看書第13、14頁可知，若一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根，記為x= ，讀作x等于三次根號(hào)a.
開立方的定義
[師]大家先回憶開平方的定義，再類推開立方的定義.
[生]求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，則求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù).
(2)立方根的性質(zhì)
[師]2的立方等于多少?是否有其他的數(shù)，它的立方也是8?
[生]2的立方等于8，(-2)3=-8，所以沒有其他的數(shù)的立方等于8.
[師]-3的立方等于多少?是否有其他的數(shù)，它的立方也是-27?
[生]-3的立方等于-27，33=27，所以沒有其他的數(shù)的立方等于-27.
[師]0的立方等于多少?0有幾個(gè)立方根?
[生]0的立方等于0，0有1個(gè)立方根是0.
[師]從剛才的討論中，大家總結(jié)一下正數(shù)有幾個(gè)立方根?0有幾個(gè)立方根?負(fù)數(shù)有幾個(gè)立方根?
[生]正數(shù)有一個(gè)立方根，0有一個(gè)立方根是0，負(fù)數(shù)有一個(gè)立方根.
[師]對(duì).正數(shù)有一個(gè)正的立方根、負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根有一個(gè)，是0.
(3)平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系.
[師]我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根與立方根的定義，并會(huì)求某些數(shù)的平方根和立方根，下面請(qǐng)大家說說它們的聯(lián)系與區(qū)別.
[生]從定義來看，若一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根;若一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a，則x叫a的立方根，都是一個(gè)數(shù)x的乘方等于a，但一個(gè)是平方，另一個(gè)是立方.
[生]一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，一個(gè)負(fù)數(shù)沒有平方根，零的平方根有一個(gè)是零;一個(gè)正數(shù)的立方根有一個(gè)，并且是正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，零的立方根有一個(gè)是零.
[生]它們的表示方法和讀法不同，一個(gè)正數(shù)a的平方根表示為 ，立方根表示為 .
[師]很好.大家現(xiàn)在已經(jīng)具備了一定的分析判斷能力，這對(duì)大家以后的學(xué)習(xí)和工作非常有幫助，繼續(xù)發(fā)揚(yáng)下去，你們都將前途無量，下面我再系統(tǒng)地總結(jié)一下.
投影片：(2.3 A)
平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別.
聯(lián)系：
(1)0的平方根、立方根都有一個(gè)是0.
(2)平方根、立方根都是開方的結(jié)果.
區(qū)別：
(1)定義不同：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根.
(2)個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，一個(gè)正數(shù)有一個(gè)立方根;一個(gè)負(fù)數(shù)沒有平方根，一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)立方根.
(3)表示法不同
正數(shù)a的平方根表示為 ，a的立方根表示為 .
(4)被開方數(shù)的取值范圍不同
中的被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù); 中的被開方數(shù)可以是任何數(shù).
2.例題講解
[例1]求下列各數(shù)的立方根：
(1)-27;(2) ;(3)0.216;(4)-5.
解：(1)因?yàn)?-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即 =-3;
(2)因?yàn)? )3= ，所以 的立方根是 ，即 = ;
(3)因?yàn)?.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 =0.6;
(4)-5的立方根是 .
[師]請(qǐng)大家思考下列問題.
表示a的立方根，則( )3等于什么? 等于什么?
大家可以先舉例后找規(guī)律.
[生]∵23=8， =2，( )3=8;
∵(-2)3=-8，
=-2;( )3=-8;
∵( )3= ，
∵(- )3=- ，
( )3=a.
[師]若x3=a，則x= ，x3=( )3=a.
( )3=a.
又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以 =a.下面就這兩個(gè)式子進(jìn)行練習(xí).
[例2]求下列各式的值：
(1) ;(2) ;(3)- ;(4)( )3
解：(1) = =-2;
(2) = ;
(3) = ;
(4)( )3=9.
�、�.課堂練習(xí)
(一)隨堂練習(xí)
1.求下列各式的值：
解： ;
2.一個(gè)正方體，它的體積是棱長(zhǎng)為3厘米的正方體體積的8倍，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是多少?
解：設(shè)正方體的'棱長(zhǎng)是x厘米，得
x3=833
x3=216
x=6(厘米)
答：這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是6厘米.
(二)補(bǔ)充練習(xí)
投影片：(2.3 B)
1.求下列各數(shù)的立方根：
0，1，- ，6，- ，0.001
2.求下列各式的值：
3.下列說法對(duì)不對(duì)?
-4沒有立方根;
1的立方根是
的立方根是 ;
-5的立方根是- ;
64的算術(shù)平方根是8.
1.解：因?yàn)?3=0，所以0的立方根為0.
即 =0;
因?yàn)?3=1，所以1的立方根為1.
即 =1;
因?yàn)?的立方根為 .
即 ;
6的立方根為 ;
∵- 的立方根為- ，即 ;
∵0.13=0.001，所以0.001的立方根為0.1，即 =0.1.
2.解： ;
3.答案：錯(cuò).因?yàn)樨?fù)數(shù)也有立方根;
錯(cuò).因?yàn)?的立方根是1;
錯(cuò). 的立方根是 ，平方根是
對(duì).-5的立方根是 ，- ;
對(duì).
�、�.議一議
1.某化工廠使用一種球形儲(chǔ)氣罐儲(chǔ)藏氣體.現(xiàn)在要造一個(gè)新的球形儲(chǔ)氣罐，如果它的體積是原來的8倍，那么它的半徑是原儲(chǔ)氣罐半徑的多少倍?
解：設(shè)原來的球形儲(chǔ)氣罐的半徑為r1，后來的儲(chǔ)氣罐的半徑為r2，由球體積公式V= r3得
8r13= r23
8r13=r23
(2r1)3=r23
r2=2r1
即新儲(chǔ)氣罐的半徑是舊儲(chǔ)氣罐半徑的2倍.
2.一個(gè)正方體的體積變?yōu)樵瓉淼膎倍，它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?
解：設(shè)原正方體的棱長(zhǎng)為a，后來的正方體的棱長(zhǎng)為b，得
na3=b3
b= .
即后來的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?倍.
�、�.課時(shí)小結(jié)
本節(jié)課學(xué)了如下內(nèi)容：
1.立方根的定義.
2.立方根的性質(zhì).
3.開立方的定義.
4.平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系.
5.會(huì)求一個(gè)數(shù)的立方根.
�、�.課后作業(yè)
習(xí)題2.5.
�、�.活動(dòng)與探究
1.求下列各式中的x.
(1)8x3+27=0;
(2)(x-1)3-0.343=0;
(3)81(x+1)4=16;
(4)32x5-1=0.
分析：先把每一個(gè)式子都化成x3= 的形式，然后再根據(jù)平方根或立方根的定義來求，
解：(1)由8x3+27=0.8x3=-27
x3=
(2)由(x-1)3-0.343=0
(x-1)3=0.343
x-1= =0.7
x=1.7;
(3)由81(x+1)4=16
(x+1)4=
x+1=
x= -1x=- 或x=- ;
(4)由32x5-1=0
x5=
x= .
2.求滿足 +1=x的x的值.
解： =x-1
x-1=-1或x-1=0或x-1=1
x=0或x=1或x=2
3.計(jì)算
(1)- ;
(2) .
解：(1) ;
(2)
=- .
●板書設(shè)計(jì)
2.3 立方根
一、(1)立方根開立方的定義
(2)立方根的性質(zhì)
(3)立方根與平方根的聯(lián)系與區(qū)別
二、例題講解(求立方根)
三、練習(xí)
四、議一議
五、小結(jié)
六、作業(yè)
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