一元二次方程解法的導(dǎo)學(xué)案

一元二次方程解法的導(dǎo)學(xué)案

　　學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　1、了解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接開(kāi)平方法

　　2、會(huì)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程

　　學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程

　　學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解直接開(kāi)平方法與平方根的定義的關(guān)系

　　教學(xué)過(guò)程

　　一、情境引入：

　　1。 我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在回憶一下：什么叫做平方根？平方根有哪些性質(zhì)？

　　如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根。記作x= ，即x= 或x= 。

　　如：9的平方根是±3， 的平方根是

　　平方根有下列性質(zhì)：

　　（1）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反數(shù)的；

　�。�2）零的平方根是零；

　　（3）負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

　　2如何解方程（1）x2=4，（2）x2—2=0呢？

　　二、探究學(xué)習(xí)：

　　1．嘗試：

　　（1）根據(jù)平方根的意義， x是4的平方根，∴x＝±2

　　即此一元二次方程的解（或根）為： x1=2，x2 =－2

　　（2）移項(xiàng)，得x2=2

　　根據(jù)平方根的意義， x就是2的平方根，∴x=

　　即此一元二次方程的解（或根）為： x1= ，x2 =

　　2．概括總結(jié)．

　　什么叫直接開(kāi)平方法？

　　像解x2=4，x2—2=0這樣，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法。

　　說(shuō)明：運(yùn)用“直接開(kāi)平方法”解一元二次方程的過(guò)程，就是把方程化為形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根據(jù)平方根的意義求解

　　3。概念鞏固：

　　已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程可以用直接開(kāi)平方法求解，且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m、n必須滿足的條是（ ）

　　A。n=0 B。m、n異號(hào) C。n是m的整數(shù)倍 D。m、n同號(hào)

　　4。典型例題：

　　例1解下列方程

　�。�1）x2—1。21=0 （2）4x2—1=0

　　解：（1）移向，得x2=1。21 （2）移向，得4x2=1

　　∵x是1。21的平方根 兩邊都除以4，得x2=

　　∴x=±1。1 ∵x是 的平方根

　　即 x1=1。1，x2=—1。1 ∴x=

　　即x1= ，x2=

　　例2解下列方程：

　�、� （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0

　　⑶ 12（3－2x）2－3 = 0

　　分析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個(gè)整體，就可以運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解；第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以—2即可。

　　解：（1）∵x+1是2的平方根

　　∴x+1=

　　即x1=—1+ ，x2=—1—

　�。�2）移項(xiàng)，得（x—1）2=4

　　∵x—1是4的平方根

　　∴x—1=±2

　　即x1=3，x2=—1

　　（3）移項(xiàng)，得12（3—2x）2=3

　　兩邊都除以12，得（3—2x）2=0。25

　　∵3—2x是0。25的平方根

　　∴3—2x=±0。5

　　即3—2x=0。5，3—2x=—0。5

　　∴x1= ，x2=

　　例3解方程（2x－1）2=（x－2）2

　　分析：如果把2x—1看成是（x—2）2的平方根，同樣可以用直接開(kāi)平方法求解

　　解：2x—1=

　　即2x—1=±（x—2）

　　∴2x—1=x—2或2x—1=—x+2

　　即x1=—1，x2=1

　　5。探究：（1）能用直接開(kāi)平方法解的一元二次方程有什么特點(diǎn)？

　　如果一個(gè)一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接開(kāi)平方法求解。

　�。�2）用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的一般步驟是什么？

　　首先將一元二次方程化為左邊是含有未知數(shù)的一個(gè)完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，然后用平方根的概念求解

　�。�3）任意一個(gè)一元二次方程都能用直接開(kāi)平方法求解嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明

　　6。鞏固練習(xí)：

　�。�1）下列解方程的過(guò)程中，正確的是（ ）

　　①x2=—2，解方程，得x=±

　�、冢▁—2）2=4，解方程，得x—2=2，x=4

　�、�4（x—1）2=9，解方程，得4（x—1）= ±3， x1= ;x2=

　�、埽�2x+3）2=25，解方程，得2x+3=±5， x1= 1;x2=—4

　�。�2）解下列方程：

　�、賦2=16 ②x2—0。81=0 ③9x2=4 ④y2—144=0

　�。�3）解下列方程：

　�、伲▁—1）2=4 ②（x+2）2=3

　�、郏▁—4）2—25=0 ④（2x+3）2—5=0

　�、荩�2x—1）2=（3—x）2

　�。�4）一個(gè)球的表面積是100 cm2，求這個(gè)球的半徑。（球的表面積s=4 R2，其中R是球半徑）

　　三、歸納總結(jié)：

　　1、不等關(guān)系在日常生活中普遍存在。

　　2、用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。

　　3、列不等式表示不等關(guān)系。

　　4。2一元二次方程的解法（ 1）

　　【后作業(yè)】

　　班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)

　　1、用直接開(kāi)平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必須滿足的條是（ ）

　　A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o(jì)

　　2、方程（1—x）2=2的根是（ ）

　　A�！�1、3 B。1、—3 C。1— 、1+ D。 —1、 +1

　　3、解下例方程

　�。�1）36－x2＝0； （2）4x2=9 （3）3x2－ ＝0 （4）（2x+1）2—3=0

　�。�5）81（x—2）2=16 ； （6）（2x－1）2=（x－2）2 （7） =0（a≥0） （8）（ax+c）2=d（a≠0，d≥0）

　　4。便民商店1月份的利潤(rùn)是2500元，3月份的利潤(rùn)為3025元，這兩個(gè)月利潤(rùn)的平均月增長(zhǎng)的百分率是多少？

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