高一數學必修1各章知識點總結

時間：2022-06-12 15:06:06

高一數學必修1各章知識點總結

高一必修一各章知識點總結

高一數學必修1各章知識點總結

第一章集合與函數概念

一、集合有關概念

集合的含義
集合的中元素的三個特性：
1. 元素的確定性如：世界上最高的山
2. 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
3. 元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

列舉法：{a,b,c……}
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
Venn圖:

4、集合的分類：

1. 有限集含有有限個元素的集合
2. 無限集含有無限個元素的集合
3. 空集不含任何元素的集合　　例：{x|x²=－5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設 A={x|x²-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A≠ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同時 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2ⁿ個子集，2^n-1個真子集

三、集合的運算

運算類型	交集	并集	補集
定義	由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x\|xA，且xB｝．	由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB ={x\|xA，或xB})．	設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，即 A C_SA=
韋恩圖示			A
性質	AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB	AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB	(C_uA) (C_uB) = C_u (AB) (C_uA) (C_uB) = C_u(AB) A (C_uA)=U A (C_uA)= Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是（）

A某班所有高個子的學生 B著名的藝術家 C一切很大的書 D 倒數等于它自身的實數

2.集合{a，b，c }的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x²-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是 .

4.設集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是

5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M= .

7.已知集合A={x| x²+2x-8=0}, B={x| x²-5x+6=0}, C={x| x²-mx+m²-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．

注意：

1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；

(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2)

2．值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3. 函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .

(2) 畫法

描點法：
圖象變換法

常用變換方法有三種

平移變換
伸縮變換
對稱變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數軸表示．

5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數。

二．函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)

（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x₁，x₂，當x₁<x₂時，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間.

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x₁，x₂，當x₁<x₂時，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.

注意：函數的單調性是函數的局部性質；

（2）圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法

(A) 定義法：

任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；

作差f(x₁)－f(x₂)；

變形（通常是因式分解和配方）；

定號（即判斷差f(x₁)－f(x₂)的正負）；

下結論（指出函數f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）．

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數的單調性

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數的奇偶性（整體性質）

（1）偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．

（2）．奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．

（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．

利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；

確定f(－x)與f(x)的關系；

作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數．

注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .

9、函數的解析表達式

（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

（2）求函數的解析式的主要方法有：

湊配法
待定系數法
換元法
消參法

10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁）

利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�

利用圖象求函數的最大（�。┲�

利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲担�

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

例題：

1.求下列函數的定義域：

⑴ ⑵

2.設函數的定義域為，則函數的定義域為_ _

3.若函數的定義域為，則函數的定義域是

4.函數，若，則=

5.求下列函數的值域：

⑴ ⑵

(3) (4)

6.已知函數，求函數，的解析式

7.已知函數滿足，則= 。

8.設是R上的奇函數，且當時,,則當時=

在R上的解析式為

9.求下列函數的單調區(qū)間：

⑴ ⑵ ⑶

10.判斷函數的單調性并證明你的結論．

11.設函數判斷它的奇偶性并且求證：．

第二章基本初等函數

一、指數函數

（一）指數與指數冪的運算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈^*．

負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。

當是奇數時，，當是偶數時，

2．分數指數冪

正數的分數指數冪的意義，規(guī)定：

，

0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

3．實數指數冪的運算性質

（1）· ；

（2）；

（3）．

（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．

2、指數函數的圖象和性質

a>1	0<a<1

定義域 R	定義域 R
值域y＞0	值域y＞0
在R上單調遞增	在R上單調遞減
非奇非偶函數	非奇非偶函數
函數圖象都過定點（0，1）	函數圖象都過定點（0，1）

注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；
（3）對于指數函數，總有；

二、對數函數

（一）對數

1．對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：（— 底數，— 真數，— 對數式）

說明：注意底數的限制，且；

；

注意對數的書寫格式．

兩個重要對數：

常用對數：以10為底的對數；

自然對數：以無理數為底的對數的對數．

指數式與對數式的互化

冪值真數

＝ N＝ b

底數

指數對數

（二）對數的運算性質

如果，且，，，那么：

·＋；

－；

．

注意：換底公式

（，且；，且；）．

利用換底公式推導下面的結論

（1）；（2）．

（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．

注意：對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．

對數函數對底數的限制：，且．

2、對數函數的性質：

a>1	0<a<1

定義域x＞0	定義域x＞0
值域為R	值域為R
在R上遞增	在R上遞減
函數圖象都過定點（1，0）	函數圖象都過定點（1，0）