不等式的證明的內(nèi)容

不等式的證明的內(nèi)容

　　教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

　�。�2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡(jiǎn)單的不等式；

　　（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；

　�。�4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；

　�。�6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；

　�。�7）通過組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．

　　教學(xué)建議

　�。ㄒ唬┙滩姆治�

　　1．知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

　　難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

　�、诰C合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．

　�。�1）不等式證明的意義

　　不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立．

　�。�2）比較法證明不等式的分析

　�、僭谧C明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

　�、谧C明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

　　由于 ，因此，證明 ，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 ．這種證法就是求差比較法．

　　由于當(dāng) 時(shí)， ，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 ．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時(shí)，一定要注意 的前提條件．

　�、矍蟛畋容^法的基本步驟是：“作差——變形——斷號(hào)”．

　　其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的．

　　變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少．

　　變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式．或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等． 總之．能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)即可．

　�、茏魃瘫容^法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證明．

　　（3）綜合法證明不等式的分析

　�、倮�用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

　�、诰C合法的思路是“由因?qū)Ч�”：從已知的不等式出發(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．

　�、劬C合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

　　… ．

　　（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

　�、芾�用綜合法由因?qū)Ч�證明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵．

　　（4）分析法證明不等式的分析

　�、購那笞C的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

　　有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

　　②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法．

　　③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

　　… ．

　�。ㄒ阎�）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

　　④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等．

　　⑤分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決．特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效．

　　（5）關(guān)于分析法與綜合法

　�、俜治龇ㄅc綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

　�、谠�數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論 已知．

　　綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

　　③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

　　綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件．

　�、芨饔衅鋬�(yōu)缺點(diǎn)：

　　從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч�，往往枝�?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論．

　　從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰．

　　也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)．

　�、菀话銇碚f，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的．

　�。ǘ�）教法建議

　�、龠x擇例題和習(xí)題要注意層次性．

　　不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系．教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng)．

　　要堅(jiān)持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力．

　�、谠�教學(xué)過程（）中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與．

　　通過學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大��；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題．

　　③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難．

　　第一課時(shí)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握證明不等式的方法——比較法；

　　2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

　　教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.

　　教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.

　　教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.

　　教學(xué)過程（）

　�。ǎ�）導(dǎo)入新課

　　（教師活動(dòng)）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大�。浚�

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題．

　�。▽W(xué)生甲回答： ， ， ，）

　�。埸c(diǎn)評(píng)］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．（板書課題）

　　設(shè)計(jì)意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)．

　�。ǘ�）新課講授

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