弦切角的數(shù)學教案
弦切角的數(shù)學教案
1、教材分析
�。�1）知識結構
�。�2）重點、難點分析
重點：弦切角定理是本節(jié)的重點也是本章的重點內容之一，它在證明角相等、線段相等、線段成比例等問題時，有重要的作用；它與圓心角和圓周角以及直線形角的性質構成了完美的角的體系，屬于工具知識之一．
難點：弦切角定理的證明．因為在證明過程中包含了由“一般到特殊”的數(shù)學思想方法和完全歸納法的數(shù)學思想，雖然在圓周角定理的證明中應用過，但對學生來說是生疏的，因此它是教學中的難點．
2、教學建議
（1）教師在教學過程中，主要是設置學習情境，組織或引導學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、研究問題和歸納結論，應用知識培養(yǎng)學生的數(shù)學能力；在學生主體參與的學習過程中，讓學生學會學習，并獲得新知識；
�。�2）學習時應注意：（Ⅰ）弦切角的識別由三要素構成：①頂點為切點，②一邊為切線，③一邊為過切點的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理時，首先要根據(jù)圖形準確找到弦切角和它們所夾弧上的圓周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的證明，體現(xiàn)了從特殊到一般的證明思路．
教學目標：
1、理解弦切角的概念；
2、掌握弦切角定理及推論，并會運用它們解決有關問題；
3、進一步理解化歸和分類討論的數(shù)學思想方法以及完全歸納的證明方法．
教學重點：弦切角定理及其應用是重點．
教學難點：弦切角定理的證明是難點．
教學活動設計：
（一）創(chuàng)設情境，以舊探新
1、復習：什么樣的角是圓周角?
2、弦切角的概念：
電腦顯示：圓周角∠CAB，讓射線AC繞點A旋轉，產生無數(shù)個圓周角，當AC繞點A 旋轉至與圓相切時，得∠BAE．
引導學生共同觀察、分析∠BAE的特點：
(1)頂點在圓周上； (2)一邊與圓相交； (3)一邊與圓相切．
弦切角的定義：
頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
3、用反例圖形剖析定義，揭示概念本質屬性：
判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由：
以下各圖中的角都不是弦切角．
圖(1)中，缺少“頂點在圓上”的條件；
圖(2)中，缺少“一邊和圓相交”的條件；
圖(3)中，缺少“一邊和圓相切”的條件；
圖(4)中，缺少“頂點在圓上”和“一邊和圓相切”兩個條件．
通過以上分析，使全體學生明確：弦切角定義中的三個條件缺一不可。
�。ǘ┯^察、猜想
1、觀察：（電腦動畫，使C點變動）
觀察∠P與∠BAC的關系．
2、猜想：∠P=∠BAC
�。ㄈ╊惐嚷�(lián)想、論證
1、首先讓學生回憶聯(lián)想：
(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢?
2、分類：教師引導學生觀察圖形，當固定切線，讓過切點的弦運動，可發(fā)現(xiàn)一個圓的弦切角有無數(shù)個．
如圖．由此發(fā)現(xiàn)，弦切角可分為三類：
(1)圓心在角的外部；
(2)圓心在角的一邊上；
(3)圓心在角的內部．
3、遷移圓周角定理的證明方法
先證明了特殊情況，在考慮圓心在弦切角的外部和內部兩種情況．
組織學生討論：怎樣將一般情況的證明轉化為特殊情況．
如圖 (1)，圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結PQ，則∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．
如圖 (2)，圓心O在∠CAB內，作⊙O的直徑AQ．連結PQ，則∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，
（在此基礎上，給出證明，寫出完整的證明過程)
回顧證明方法：將情形圖都化歸至情形圖1，利用角的合成、對三種情況進行完 全歸納、從而證明了上述猜想是正確的，得：
弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角． 4．深化結論．
練習1 直線AB和圓相切于點P，PC，PD為弦，指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的弧．
練習2 如圖，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O 的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么?
分析：由于 和 分別是兩個弦切角∠OAB和∠EAC所夾的弧．而 ＝ ．連結B，C，易證∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．
由此得出：
推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等．
（四）應用
例1如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O 切于點C，AD⊥CE，垂足為D
求證：AC平分∠BAD．
思路一：要證∠BAC＝∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD＝∠B．
證明：(學生板書)
組織學生積極思考．可否用前邊學過的知識證明此題?由學生回答，教師小結．
思路二，連結OC，由切線性質，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可證得結論。
思路三，過C作CF⊥AB，交⊙O于P，連結AF．由垂徑定理可知∠1＝∠3，又根據(jù)弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，進而可證明結論成立．
練習題
1、如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝______度．
2、AB切⊙O于A點，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3:1，則夾劣弧的弦切角∠BAC＝________
3、如圖，經過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C．
求證：∠ATC＝∠TBC．
(此題為課本的練習題，證明方法較多，組織學生討論，歸納證法．)
（五）歸納小結
教師組織學生歸納：
(1)這節(jié)課我們主要學習的知識；
(2)在學習過程中應用哪些重要的數(shù)學思想方法？
�。┳鳂I(yè)：教材P13l習題7．4A組l(2)，5，6，7題．
探究活動
一個角的頂點在圓上，它的度數(shù)等于它所夾的弧對的圓周角的度數(shù)，試探討該角是否圓周角？若不是，請舉出反例；若是圓周角，請給出證明．
提示：是圓周角（它是弦切角定理的逆命題）．分三種情況證明（證明略）．
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