直接證明與間接證明復(fù)習(xí)練習(xí)
直接證明與間接證明復(fù)習(xí)練習(xí)
1.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x1，x2D(x1x2)，都有fx1+x22
()
A.y=log2x B.y=x
C.y=x2 D.y=x3
解析：可以根據(jù)圖象直觀觀察;對(duì)于C證明如下：
欲證fx1+x22
即證x1+x222
即證(x1-x2)20.顯然成立.故原不等式得證.
答案：C
2.設(shè)a，b，c(-，0)，則a+1b，b+1c，c+1a
()
A.都不大于-2 B.都不小于-2
C.至少有一個(gè)不大于-2 D.至少有一個(gè)不小于-2
解析：因?yàn)閍+1b+b+1c+c+1a-6，所以三者不能都大于-2.
答案：C
3.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，，xn，有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn，已知函數(shù)y=sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值為________.
解析：∵f(x)=sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，
且A、B、C(0，)，
fA+fB+fC3fA+B+C3=f3，
即sin A+sin B+sin C3sin 3=332，
所以sin A+sin B+sin C的最大值為332.
答案：332
4.已知常數(shù)p0且p1，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=p1-p(1-an)，數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=logpa2n-1且b1=1.
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)若對(duì)于在區(qū)間[0,1]上的任意實(shí)數(shù)，總存在不小于2的自然數(shù)k，當(dāng)nk時(shí)，bn(1-)(3n-2)恒成立，求k的最小值.
解：(1)證明：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=p1-p(1-an)-p1-p(1-an-1)，整理得an=pan-1.由a1=S1=p1-p(1-a1)，得a1=p0，則恒有an=pn0，從而anan-1=p.所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
(2)由(1)知an=pn，則bn+1-bn=logpa2n-1=2n-1，
所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=n2-2n+2，
所以n2-2n+2(1-)(3n-2)，則(3n-2)+n2-5n+40在[0,1]時(shí)恒成立.
記f()=(3n-2)+n2-5n+4，由題意知，f00f10，解得n4或n1.又n2，所以n4.
綜上可知，k的最小值為4.
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