高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：空間向量及其應(yīng)用

時間：2022-06-02 09:31:58

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：空間向量及其應(yīng)用

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案：空間向量及其應(yīng)用

　　一.課標(biāo)要求：

　　(1)空間向量及其運(yùn)算

　�、� 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程;

　�、� 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;

　�、� 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示;

　�、� 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

　　(2)空間向量的應(yīng)用

　�、� 理解直線的方向向量與平面的法向量;

　�、� 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系;

　�、� 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理);

　�、� 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

　　二.命題走向

　　本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。

　　預(yù)測2013年高考對本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。

　　三.要點(diǎn)精講

　　1.空間向量的概念

　　向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

　　相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

　　表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。

　　說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示;②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。

　　2.向量運(yùn)算和運(yùn)算率

　　加法交換率：

　　加法結(jié)合率：

　　數(shù)乘分配率：

　　說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。

　　3.平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作 ∥ 。

　　注意：當(dāng)我們說、共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線;當(dāng)我們說、平行時，也具有同樣的意義。

　　共線向量定理：對空間任意兩個向量 ( )、， ∥ 的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使 =

　　注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質(zhì)定理：若 ∥ ( 0)，則有 = ，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù) ，使 = ( 0)，則有 ∥ (若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需 (或 )上有一點(diǎn)不在 (或 )上)。

　　⑵對于確定的和， = 表示空間與平行或共線，長度為 | |，當(dāng) 0時與同向，當(dāng) 0時與反向的所有向量。

　　⑶若直線l∥ ，，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo) 的表達(dá)式。

　　推論：如果 l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式

　�、�

　　其中向量叫做直線l的方向向量。

　　在l上取，則①式可化為 ②

　　當(dāng) 時，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則 ③

　�、倩颌诮凶隹臻g直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點(diǎn)公式。

　　注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式;⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。

　　4.向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作 ∥ 。注意：向量 ∥ 與直線a∥ 的聯(lián)系與區(qū)別。

　　共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

　　共面向量定理如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y，使 ①

　　注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。

　　推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使

　�、�

　　或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有 ⑤

　　在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對(x, y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

　　又∵ 代入⑤，整理得

　�、�

　　由于對于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一(它們只是形式不同的同一等式)，點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi);對于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、 (或不共線三點(diǎn)M、A、B)確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。

　　5.空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使

　　說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{ ，， }叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量;⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底;⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念;⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。

　　推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

　　6.數(shù)量積

　　(1)夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則角AOB叫做向量與的夾角，記作

　　說明：⑴規(guī)定0 ,因而 = ;

　�、迫绻� = ，則稱與互相垂直，記作

　�、窃诒硎緝蓚€向量的夾角時，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖(3)、(4)中的兩個向量的夾角不同，

　　圖(3)中AOB= ，

　　圖(4)中AOB= ,

　　從而有 = = .

　　(2)向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。

　　(3)向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。

　　即 = ，

　　向量 :

　　(4)性質(zhì)與運(yùn)算率

　�、� 。 ⑴

　�、� =0 ⑵ =

　�、� ⑶

　　四.典例解析

　　題型1：空間向量的概念及性質(zhì)

　　例1.有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線;② 為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點(diǎn) 一定共面;③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是( )

　�、佗� ①③ ②③ ①②③

　　解析：對于①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線所以①錯誤。②③正確。

　　例2.下列命題正確的是( )

　　若與共線，與共線，則與共線;

　　向量共面就是它們所在的直線共面;

　　零向量沒有確定的方向;

　　若，則存在唯一的實(shí)數(shù) 使得 ;

　　解析：A中向量為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證不為零向量。

　　題型2：空間向量的基本運(yùn)算

　　例3.如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，，，則下列向量中與相等的向量是( )

　　例4.已知：且不共面.若 ∥ ,求的值.

　　題型3：空間向量的坐標(biāo)

　　例5.(1)已知兩個非零向量 =(a1，a2，a3)， =(b1，b2，b3)，它們平行的充要條件是()

　　A. ：| |= ：| |B.a1b1=a2b2=a3b3

　　C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使 =k

　　(2)已知向量 =(2，4，x)， =(2，y，2)，若| |=6，，則x+y的值是()

　　A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1

　　(3)下列各組向量共面的是()

　　A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)

　　B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)

　　C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)

　　D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)

　　解析：(1)D;點(diǎn)撥：由共線向量定線易知;

　　(2)A 點(diǎn)撥：由題知或 ;

　　例6.已知空間三點(diǎn)A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)。設(shè) = ， = ，(1)求和的夾角 ;(2)若向量k + 與k -2 互相垂直，求k的值.

　　思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.

　　解：∵A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)， = ， = ，

　　=(1，1，0)， =(-1，0，2).

　　(1)cos = = - ，

　　和的夾角為- 。

　　(2)∵k + =k(1，1，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，

　　k -2 =(k+2，k，-4)，且(k + )(k -2 )，

　　(k-1，k，2)(k+2，k，-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。

　　則k=- 或k=2。

　　點(diǎn)撥：第(2)問在解答時也可以按運(yùn)算律做。( + )(k -2 )=k2 2-k -2 2=2k2+k-10=0，解得k=- ，或k=2。

　　題型4：數(shù)量積

　　例7.設(shè) 、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則

　�、�( ) -( ) = ②| |-| || - | ③( ) -( ) 不與垂直

　�、�(3 +2 )(3 -2 )=9| |2-4| |2中，是真命題的有( )

　　A.①② B.②③ C.③④ D.②④

　　答案：D

　　解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假;

　　②由向量的減法運(yùn)算可知| |、| |、| - |恰為一個三角形的三條邊長，由兩邊之差小于第三邊，故②真;

　�、垡�?yàn)閇( ) -( ) ] =( ) -( ) =0，所以垂直.故③假;

　　例8.(1)已知向量和的夾角為120，且| |=2，| |=5，則(2 - ) =_____.

　　(2)設(shè)空間兩個不同的單位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)與向量 =(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值;(2)求，的大小(其中0 ，。

　　解析：(1)答案：13;解析：∵(2 - ) =2 2- =2| |2-| || |cos120=24-25(- )=13。

　　(2)解：(1)∵| |=| |=1，x +y =1，x =y =1.

　　又∵ 與的夾角為， =| || |cos = = .

　　又∵ =x1+y1，x1+y1= 。

　　另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=( )2-1= .x1y1= 。

　　(2)cos ， = =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .x1，y1是方程x2- x+ =0的解.

　　或同理可得或

　　∵ ，或

　　cos ， + = + = .

　　∵0 ，，， = 。

　　評述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。

　　題型5：空間向量的應(yīng)用

　　例9.(1)已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證： + + 4 。

　　(2)已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1(1，-2，1)移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功。

　　解析：(1)設(shè) =( ，， )， =(1，1，1)，

　　則| |=4，| |= .

　　∵ | || |，

　　= + + | || |=4 .

　　當(dāng) = = 時，即a=b=c= 時，取=號。

　　例10.如圖,直三棱柱中, 求證:

　　證明：

　　五.思維總結(jié)

　　本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)O和一個單位正交基底{i，j，k｝建立坐標(biāo)系，對于O點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的坐標(biāo)表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì);空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類似，具有類似的運(yùn)算法則.一個向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒變。如向量的數(shù)量積ab=|a||b|cos在二維、三維都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時同平面兩向量平行時表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為，對于中點(diǎn)公式要熟記。

　　對本講內(nèi)容的考查主要分以下三類：

　　1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì)

　　此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。

　　2.向量在空間中的應(yīng)用

　　在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì)。

　　在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針。本講考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本。因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵。

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