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公式法的教案

時間:2024-04-18 15:19:14

關(guān)于公式法的教案范本

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  教學(xué)內(nèi)容

  1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程;

  2.公式法的概念;

  3.利用公式法解一元二次方程.

  教學(xué)目標(biāo)

  理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程,了解公式法的概念,會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

  復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法 的解題過程,引入ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推導(dǎo)公式,并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

  重難點關(guān)鍵

  1.重點:求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

  2.難點與關(guān)鍵:一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

  教學(xué)過程

  一、復(fù)習(xí)引入

  (學(xué)生活動)用配方法解下列 方程

  (1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52

  (老師點評) (1)移項,得:6x2-7x=-1

  二次項系數(shù)化為1,得:x2- x=-

  配方,得:x2- x+( )2=- +( )2

  (x- )2=

  x- = x1= + = =1

  x2=- + = =

  (2)略

  總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié),老師點 評).

  (1)移項;

  (2)化二次項系數(shù)為1;

  (3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方;

  (4 )原方程變形為(x+m)2=n的形式;

  (5)如果右邊是非負數(shù),就可以直接開平方求出方程的解,如果右邊是負數(shù),則一元二次方程無解.

  二、探索新知

  如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0),你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根,請同學(xué)獨立完成下面這個問題.

  問題:已知ax2+b x +c=0(a0)且b2-4ac0,試推導(dǎo)它的兩個根x1= ,x2=

  分析:因為前面具體數(shù)字已做得很多,我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當(dāng)成一個具體數(shù)字,根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.

  解:移項,得:ax2+bx=-c

  二次項系數(shù)化為1,得x2+ x=-

  配方,得:x2+ x+( )2=- +( )2

  即(x+ )2=

  ∵b2-4ac0且4a20

  0[來源:ZXXK]

  直接開平方,得:x+ =

  即x=

  x1= ,x2=

  由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系數(shù)a 、b、c而定,因此:

  (1)解一元二次方程時,可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當(dāng)b-4ac0時,將a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.

  (2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

  (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

  (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

  例1.用公式法解下列方程.

  (1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2

  (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0

  分析:用公式法解一元二次方程,首先應(yīng)把它化為一般形式,然后代入公式即可.

  解:(1)a=2,b=-4,c=-1

  b2-4ac=(-4)2-42(-1)=240

  x=

  x1= ,x2=

  (2)將方程化為一般形式

  3x2-5x-2=0

  a=3,b=-5,c=-2

  b2-4ac=(-5)2-43(-2)=490

  x=

  x1=2,x 2=-

  (3)將方程化為一般形式

  3x2-11x+9=0

  a=3,b=-11,c=9

  b2-4ac=(-11)2-439=130

  x=

  x1= ,x2=

  (3)a=4,b=-3,c=1

  b2-4ac=(-3)2-441=-70

  因為在實數(shù)范圍內(nèi),負數(shù)不能開平方,所以方程無實數(shù)根.

  三、鞏固練習(xí)

  教材P42 練習(xí)1.(1)、(3)、(5)

  四、應(yīng)用拓展

  例2.某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列問題.

  (1)若使方程為一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.

  (2)若使方程為一元二次方程m是否存在?若存在,請求出.

  你能解決這個問題嗎?

  分析:能.(1)要使它為一元二次方程,必須滿足m2+1=2,同時還 要滿足(m+1)0.

  (2)要使它為一元一次方程,必須滿足:

 、 或② 或③

  解:(1)存在.根據(jù)題意,得:m2+1=2

  m2=1 m=1

  當(dāng)m =1時,m+1=1+1=20

  當(dāng)m=-1時,m+1=-1+1=0(不合題意,舍去)

  當(dāng)m=1時,方程為2x2-1-x=0

  a=2,b=-1,c=-1

  b2-4ac=(-1)2-42 (-1)=1+8=9

  x=

  x1=,x2=-

  因此,該方程是一元二次方程時,m=1,兩根x1=1,x2=- .

  (2)存在.根據(jù)題意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0

  因為當(dāng)m=0時,(m+1)+(m-2)=2m-1=-10

  所以m=0滿足題意.

 、诋(dāng)m2+1=0,m不存在.

 、郛(dāng)m+1=0,即m=-1時,m-2=-30

  所以m=-1也滿足題意.

  當(dāng)m=0時,一元一次方程是x-2x-1=0,

  解得:x=-1

  當(dāng)m=-1時,一元一次方程是-3x-1=0

  解得x=-

  因此,當(dāng)m=0或-1時,該方程是一元一次方程,并且當(dāng)m=0時,其根為x= -1;當(dāng)m=-1時,其一元一次方程的根為x=- .

  五、歸納小結(jié)

  本節(jié)課應(yīng)掌握:

  (1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程;

  (2)公式法的概念;

  (3)應(yīng)用公式法解一元二次方程;

  (4)初步了解一元二次方程根的情況.

  六、布置作業(yè)

  1.教材P45 復(fù)習(xí)鞏固4.

  2.選用作業(yè)設(shè)計:

  一、選擇題

  1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( ).

  A.x= B.x=

  C.x= D.x=

  2.方程 x2+4 x+6 =0的根是( ).

  A.x1= ,x2= B.x1=6,x2=

  C.x1=2 ,x2= D.x1=x2=-

  3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,則m2-n2的值是( ).

  A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2

  二、填空題

  1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是________,條件是________.

  2.當(dāng)x=______時,代數(shù)式x2-8x+12的值是-4.

  3.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根為0,則m的值是_____.

  三、綜合提高題

  1.用公式法解關(guān)于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.

  2.設(shè)x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根,(1)試推導(dǎo)x1+x2=- ,x1(2)求代數(shù)式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.

  3.某電廠規(guī)定:該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時 ,那么這戶居民這個月只交10元電費,如果超過A千瓦時,那么這個月除了交10元用電費外超過部分還要按每千瓦時 元收費.

  (1)若某戶2月份用電90千瓦時,超過規(guī)定A千瓦時,則超過部分電費為多少元?(用A表示)

  (2)下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況

  月份 用電量(千瓦時) 交電費總金額(元)

  3 80 25

  4 45 10

  根據(jù)上表數(shù)據(jù),求電廠規(guī)定的A值為多少?

  答案:

  一、1.D 2.D 3.C

  二、1.x= ,b2-4ac0 2.4 3.-3

  三、1.x= =a│b│

  2.(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a0)的兩根,

  x1= ,x2=

  x1+x2= =- ,

  x1x2= =

  (2)∵x1,x2是ax2+bx+c=0的兩根,ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0

  原式=ax13+bx12 +c1x1+ax23+bx22+cx2

  =x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)

  =0

  3.(1)超過部分電費=(90-A) =- A2+ A

  (2)依題意,得:(80-A) =15,A1=30(舍去),A2=50

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